Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-12-21 | 161 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть X и Y -две дискретные случайные величины с законами распределения
|
X
и
|
Y
Пусть для этих величин математическое ожидание равно M (X) и M (Y), а дисперсия - D (X) и D (Y). В общем случае эти величины могут быть зависимыми и математическое ожидание для произведения величин X и Y должно вычисляться по формуле
M (X × Y)=S p ij× x i y j,
ij
В данном выражении p ij× - вероятность того, что величины X и Y одновременно примут значения x i и y j. Для независимых случайных величин
p ij= p i× g j
Ковариацией случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения центрированных случайных величин
· ·
Cov (X, Y)= M (X × Y)= M ([ X - M (X)]×[ Y - M (Y)])
Для дискретных случайных величин X и Y
· ·
Cov (X, Y)= M (X × Y)= S p ij×[ x i- M (X)]×[ y j- M (Y)]
ij
Если в определении ковариации раскрыть скобки, получим:
Cov (X, Y)= M ([ X - M (X)]×[ Y - M (Y)])=
= M ([ X × Y - M (X)× Y - M (Y)× X+M (X)× M (Y)]=
= M (X × Y)-2 M (X)× M (Y) +M (X)× M (Y)=
== M (X × Y)- M (X)× M (Y)
Таким образом, мы получили для ковариации выражение, уже использованное ранее при доказательстве формулы для дисперсии суммы двух случайных величин. Как уже отмечалось, в случае, если X и Y - независимые величины, то Cov (X, Y)=0.
Ковариация нормированных случайных величин
Ù Ù
X = X /s(X) и Y = Y /s(Y)
называется коэффициентом корреляции.
Ù Ù
r (X, Y)= Cov (X, Y)= Cov (X, Y)/s(X)/s(Y)
Так же, как и ковариация, коэффициент корреляции обращается в 0, если величины X и Y независимы. Вместе с тем, обратное верно не всегда, то есть и для зависимых величин возможна ситуация, когда коэффициент корреляции равен 0.
|
Сверху значения модуля коэффициента корреляции ограничены единицей
| r (X, Y)|£1
Рассмотрим выражение
Ù Ù Ù Ù Ù Ù
D (X + Y)= D (X)+ D (Y) + 2 Cov (X, Y)=2×[1 + r (X, Y)]³0
Дисперсия не может быть отрицательной, поскольку в нее входят квадраты отклонений и неотрицательные вероятности. Для того, чтобы это условие было выполнено, необходимо, чтобы заключительное выражение в скобках было неотрицательным, то есть коэффициент корреляции обязан быть по модулю не больше единицы.
Равенство коэффициента корреляции единице выполняется только в том случае, когда величины X и Y связаны между собой линейной зависимостью
Пусть
| r (X, Y)|=1
Тогда
Ù Ù
D (X + Y)=0,
следовательно
Ù Ù
X + Y = C = const,
и
Ù Ù
Y = C + X, Y = C + s(Y)/s(X)× X,
то есть величины связаны линейно.
С другой стороны, если величины связаны линейной зависимостью
Y = aX + b,
то
M (Y)= aM (X)+ b, D (Y)= a 2 D (X),
M (X×Y)= M (X× (aX + b))= aM (X 2)+ bM (X)
M (X)× M (Y)= a (M (X))2+ bM (X)
и
Ù Ù
r (X, Y)= Cov (X, Y)= Cov (X, Y)/s(X)/s(Y)=
=[ M (X×Y)- M (X)× M (Y)]/s(X)/s(Y)= a·D (X)/(s(X)×s(X)×| a |)
Результат равен 1 при a ³0 и –1 при a <0
Непрерывные случайные величины.
Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
Дискретные случайные величины определены на множестве элементарных исходов, которое является конечным или счетным. Однако возможны ситуации, когда случайная величина принимает непрерывный ряд значений. В этой ситуации в качестве закона распределения можно ввести функцию распределения вероятностей случайной величины. Мы вводили такую функцию для дискретного случая, и теперь можем написать ее для непрерывной случайной величины.
Как и в дискретном случае, под функцией распределения будем понимать функцию F (x), определяющую вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее чем x.
F (x)= P (X < x), -¥< x<¥
Функция распределения непрерывной случайной величины является дифференцируемой. Производная функции распределения
|
f (x)= dF (X)/ dx
является кусочно-непрерывной и носит название плотности вероятности.
Будем говорить, что задана непрерывная случайная величина X, если задан ее закон распределения в виде функции распределения F (X) или плотности вероятности f (x). Для этих функций выполняется целый ряд свойств:
1. 0£ F (x)£1
2. F (-¥)=0, F (¥)=1
3. x 2> x 1, F (x 2)³ F (x 1) - функция F (x) является неубывающей
x
4. F (x)= P (-¥< X < x)= ∫ f (t)× dt
-¥
5. f (x) ³0
x 2
6. P (x 1< x<x 2)= ∫ f (t)× dt = F (x 2)- F (x 1)
x 1
¥
7. P (-¥< x< ¥)= ∫ f (t)× dt =1
-¥
8. P (X = x 0)=0
Таким образом, зная закон распределения, всегда можно определить для случайной величины вероятность попасть в заданный интервал, однако в силу того, что случайная величина принимает бесконечно много значений, вероятность каждого конкретного значения равна 0.
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!