Вероятность произведения событий

 

Пусть имеется пространство элементарных исходов испытания W. На этом пространстве заданы события A и B с вероятностями P (A) и P (B). Если пользоваться классическим определением вероятности P (A)= m _A/ n, P (B)= m _B/ n. Из указанных событий можно построить событие AB, его вероятность мы определим как P (AB)= m _AB/ n. Здесь m _AB - число элементарных исходов, благоприятствующих одновременно и событию A и событию B.

Известно, что в результате испытания событие A произошло. Необходимо найти вероятность события B при условии наступления события A. Такая вероятность обозначается символом P (B / А) и называется условной. Чтобы ее рассчитать, необходимо определить отношение числа исходов, благоприятных для события B при условии наступления события А, к полному числу исходов, соответствующих наступлению А. Для нее можно записать следующее выражение

P (B / А)= m _AB/ m _A= P (AB)/ P (A)

 

Если рассмотреть геометрическую интерпретацию задачи,
m _AB и m _A необходимо заменить на площади соответствующих фигур (см. рис.3, или рис.6). Результирующее выражение при этом останется тем же самым.

Переписав выражение для условной вероятности, получим формулу для вероятности произведения событий

 

P (AB) = P (A) ×P (B / А)

 

Данное выражение носит название теоремы умножения вероятностей.

Важным понятием, связанным с определением вероятности произведения является понятие независимости событий. События A и B являются независимыми тогда и только тогда, когда их условные вероятности равны их полным вероятностям, то есть P (B / А)= P (B), P (А / B)= P (А). Для независимых событий всегда

 

P (АВ)= P (А)× P (В)

 

Если равенство не выполняется, события являются зависимыми. Например, события A и B, для которых P (A)=0.2, P (B)=0.6, а P (AB)= 0.08, являются зависимыми.

В общем случае, если события A и B совместны (рис.3.), то AB ¹ Ø, P (AB)¹0 и независимость событий определяется только по количественному соотношению между их вероятностями и вероятностью их произведения.

На рис. 6 площадь события B совпадает с площадью события AB, P (B)= P (AB), и события сразу можно определить как зависимые.

На рис. 2б. изображены несовместные события. В этом случае
P (A)¹0, P (B)¹0 при P (АВ)=0и такие события всегда являются зависимыми.

В случае большего числа событий выражение для вероятности их произведения имеет более сложную форму. Для трех событий оно записывается как

 

P (ABС) = P (AB) ×P (C / AB)= P (A) ×P (B / A) ×P (C / AB)

 

Для независимых событий

 

P (ABС) = P (A) ×P (B) ×P (C)

 

Вероятность суммы событий

 

Рассмотрим два совместных события A и B с вероятностями P (A) и P (B) на пространстве элементарных исходов W (рис.3). Сумму этих событий можно записать в виде

 

A+B = A \ AB + B \ AB + AB.

 

Напомним, что выражение A \ AB (разность событий) означает, что событие А произошло но не произошло событие АВ.

Вероятность суммы событий можно вычислить, используя геометрическое определение. Очевидно, что площадь фигуры A+B

 

s _A+B =s _A\AB+ s _B\AB+ s _AB= s _A+ s _B- s _AB

и

P (A+B)= P (A / AB)+ P (B / AB)+ P (AB)= P (A)+ P (B)- P (AB)

 

Таким образом, для совместных событий

 

P (A+B)= P (A)+ P (B)- P (AB)

 

В случае несовместных событий P (АВ)=0 и

 

P (A+B)= P (A)+ P (B)

 

В качестве примера найдем вероятность события A+B, если известно, что P (A)=0.2, P (B)=0.6, а P (AB)= 0.08. Подставив данные в формулу, получим P (A+B)=0.72.

Решим пример при условии, что события A и B имеют те же вероятности, но являются независимыми: P (A+B)=0.2+0.6-0.12=0.68.

В случае, если событий несколько и они совместны, выражение для суммы усложняется. Так для трех совместных событий A, B и С:

 

P (A+B+С)= P (A)+ P (B)+ P (С)- P (AB) - P (AС) - P (BС)+ P (ABС)

 

Если рассмотреть события A ₁, A ₂,... A _n, образующие полную группу (попарно несовместные и в сумме дающие достоверное событие), вероятность их суммы будет равна

P (A ₁+ A ₂+...+ A _n)= P (A ₁)+ P (A ₂)+...+ P (A _n)= P (W)=1

 

В частном случае, для событий Ā и А

 

P (A + Ā)= P (A)+ P (Ā)= P (W)=1

и

P (Ā)=1- P (A)

Таким образом, вероятность события, противоположного данному, всегда можно найти, если известна вероятность самого события.

Рассмотрим пример. Стрелок попадает в первое кольцо мишени с вероятностью 0.5, во второе – с вероятностью 0.3, в центр – с вероятностью 0.1 Необходимо найти вероятность промаха. Поскольку события, связанные с попаданием в мишень несовместны, мы можем найти вероятность события, противоположного промаху, которое состоит в том, что стрелок попал в мишень P (Ā)=0.5+0.3+0.1=0.9. Тогда вероятность искомого события P (A)=1-0.9=0.1.

Если события A ₁, A ₂,... A _n независимы, вероятность их суммы можно определить по формуле

 

___________ _ _ _

P (A ₁+ A ₂+...+ A _n)=1- P (A ₁+ A ₂+...+ A _n)= 1- P (A ₁× A ₂×...× A _n)=

_ _ _

= 1- P (A ₁)× P (A ₂)×...× P (A _n)