Равновесие составных конструкций под действием произвольной плоской системы сил

В случае системы твердых тел, соединенных между собой, силы, действующие на эту систему, можно подразделить на две группы:

1. внешние силы;
2. внутренние силы.

Внутренними силами называются силы взаимодействия между телами, входящими в данную систему. По закону равенства действия и противодействия внутренние силы всегда попарно равны по модулю и прямо противоположны по направлению, но приложены к двум разным взаимодействующим между собой телам системы.

Рис. 1

Внешними силами называются те силы, с которыми тела, не входящие в данную систему, действуют на тела этой системы.

Рассмотрим, например, систему, изображенную на рис.1.

Балка AB весом P_x может вращаться вокруг оси A неподвижного цилиндрического шарнира и концом B опирается свободно на другую балку CD весом P₂, которая подперта в точке E и соединена со стеной шарниром D.

В данном случае система состоит из двух тел: балки AB и балки CD.

Внутренними силами для данной системы являются силы взаимодействия между балками, т. е. сила N₂ давления балки AB на балку CD и сила N₁, с которой балка CD действует на балку AB. По закону равенства действия и противодействия силы N₁ и N₂ равны по модулю и противоположны по направлению, т. е. N₁ = - N₂.

Веса P₁ и P₂ балок представляют собой силы, с которыми эти балки притягиваются к Земле, и, следовательно, для данной системы являются силами внешними, так как Земля по отношению к этой системе есть внешнее тело.

Реакции R_A и R_D шарнирных опор A и D, а также реакция R_E опоры E являются для данной системы тоже внешними силами, так как шарнирные опоры A и D и опора E не принадлежат к рассматриваемой системе, состоящей только из двух балок.

При решении задач на равновесие системы тел необходимо учесть, что все внешние и внутренние силы, приложенные к каждому телу в отдельности, уравновешиваются. Следовательно, в случае плоской системы сил можно составить по три уравнения равновесия для каждого из этих тел в отдельности.

Таким образом, для системы, состоящей из n тел, можно составить всего 3n уравнений равновесия. Поэтому, если число неизвестных сил в данной задаче не более 3n, то такая задача является статически определимой.

Если же число неизвестных в задаче окажется больше 3n, то такая задача не может быть разрешена только на основании уравнений статики абсолютно твердого тела и потому является статически неопределимой.

Так как внутренние силы попарно равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны, то алгебраическая сумма их моментов относительно любой точки равна нулю и сумма их проекций на любую ось также равна нулю.

Поэтому, если составим уравнение равновесия (уравнение моментов относительно какой-либо точки, или уравнение проекций на какую-либо ось) для каждого тела в отдельности и затем все эти уравнения сложим, то в полученном уравнении члены, содержащие внутренние силы, попарно уничтожаются и, следовательно, в это уравнение будут входить только внешние силы.

Таким образом, если система тел находится в равновесии, то внешние силы, приложенные к этой системе, удовлетворяют тем же трем уравнениям равновесия, что и в случае равновесия одного абсолютно твердого тела. Эти уравнения представляют собой условия равновесия внешних сил, действующих на систему.

Из этих уравнений можно найти все внешние реакции, если число этих внешних реакций не больше трех. Если же число внешних реакций окажется больше трех или если в задаче, кроме внешних реакций, требуется найти неизвестные внутренние силы, то необходимо применять метод расчленения системы, т. е. нужно рассматривать равновесие каждого тела системы в отдельности и для каждого из этих тел составлять уравнения равновесия, учитывая при этом все силы, приложенные к рассматриваемому телу.

Если система состоит, например, из двух твердых тел, то, применяя метод расчленения, получим в общем случае всего шесть уравнений равновесия (по три уравнения для каждого тела).

Для составления шести уравнений равновесия можно применять еще и другой прием, а именно: составить сначала три уравнения для всей системы в целом (как для одного абсолютно твердого тела) и затем к этим трем уравнениям присоединить три уравнения равновесия, составленные только для одного из двух тел данной системы.

Этот второй прием нередко предпочтительнее, так как в уравнения равновесия, составленные для всей системы в целом, входят только внешние силы и потому эти уравнения обычно оказываются проще.

Задачи, относящиеся к равновесию системы твердых тел, в зависимости от вида соединения этих тел между собой можно разделить на следующие четыре типа:

1. Задачи, где тела, входящие в систему, опираются свободно друг на друга.
2. Задачи, где тела, входящие в систему, соединены между собой гибкой нитью или невесомым стержнем, концы которого прикреплены к этим телам при помощи шарниров.
3. Задачи, где тела, входящие в систему, соединены между собой при помощи шарнира.
4. Задачи, относящиеся к определению усилий в стержнях плоской фермы.