Пуассоновские процессы в системах массового

Обслуживания

Начнем с содержательного примера, имеющего большое значение для анализа и синтеза АСУ.

Пример 5. Рассмотрим вычислительную систему коллективного пользования, функционирующую в диалоговом режиме (рис. 5).

 

Рис.5. Вычислительная система коллективного пользования

 

В этой вычислительной системе каждое терминальное устройство может находиться в одном из двух режимов: " активное ожидание" и " пассивное ожидание". В режиме активного ожидания терминальное устройство ожидает разрешения на ввод очередного сообщения в ЭВМ. Если ЭВМ свободна, то она немедленно приступает этого сообщения. В противном случае сообщение помещается в очередь, где ожидает в течение некоторого времени.

Пусть любое терминальное устройство, находящееся в режиме пассивного ожидания, может быть активизировано в интервале времени (t, t+ h) с вероятностью λ h + 0 (h), причем активизация терминалов происходит независимо друг от друга. Таким образом, если терминал пассивен в момент времени t, то промежутки времени от t до его активизации имеют распределение Пуассона (3.6)

Суммарный поток событий (поток переключений) будет являться процессом чистого размножения с интенсивностью

при 0 ≤ n ≤ М, (3.8)

при n > М.

 

Предположим теперь, что времена обработки представляют собой случайные числа, имеющие экспоненциальное распределение e ^{–μ t}.

Другими словами, вероятность того что время обслуживания очередного сообщения будет больше, чем t, есть e ^{–μ t}. Из выражения (3.6) видно, что e ^{–μ t} представляет собой распределение Пуассона при n = 0.

Предполагая, наконец, что интервалы времени обработки сообщений взаимно независимы, придем к математической модели, описывающей функционирование вычислительной системы коллективного пользования в диалоговом режиме.

Для рассмотренного примера удобно вновь ввести пространство состояний, считая, что система находится в состоянии E _n,, где n – общее число обслуживае-

мых и ожидающих в очереди сообщений, n = 0, 1, 2, …, М.

Ясно, что в такой системе из состояний E _n+1 возможны переходы как в E _n+1 так и в E _n-1. В силу малости члена 0 (h) в уравнении (3.2) переходы в системе возможны лишь в ближайшие, соседние состояния. Если в некоторый момент система находится в состоянии E _n, то вероятность того, что за время (t, t + h) осуществляется переход E _n → E _n+1, равна λ _n h + 0 (h), а вероятность перехода E _n → E _n-1 (при n ≥ 1) равна μ h + 0 (h). Вероятность того, что за время (t, t + h) осуществляется более чем одно изменение, имеет порядок малости более высокий, чем h.

Для вывода дифференциальных уравнений, описывающих поведение такой системы, предположим, что в момент времени t вероятность пребывания системы в состоянии E _n равняется P _n (t). Для вычисления P _n (t + h) заметим, что система может находиться в момент времени t + h в состоянии E _n в следующих трех случаях:

1) в момент t система находится в E _n и за время h не происходит никаких изменений;

2) в момент t система находится в E _n-1 и затем переходит в E _n;

3) в момент t система находится в E _n+1, к моменту (t + h) система переходит в состояние E _n .

По предположению, вероятность двух и более переходов за время h равняется 0 (h). Кроме того, первые три возможности – взаимно исключающие и вероятности их можно складывать. Поэтому

P _n (t + h) = P _n (t)[ 1 - λ _n h - μ h ] + λ _{n –1} h P _n-1 + μ _n+1 h P _n+1 + 0 (h).

 

Перенося P _n (t) влево и разделив на h, получим при h → 0

 

P¹ _n (t) = - (λ _n + μ _n ) P _n (t) + λ _{n –1} P _n-1 (t) + μ _n+1 P _n+1(t). (3.9)

Аналогично выводятся уравнения для n = 0, и n = М:

 

P¹ ₀ (t) = - λ ₀ P ₀ (t) + μ ₁(t);

 

P¹ _M (t) = - μ _n P _M (t) + λ P _m-1(t). (3.10) Если в момент t = 0 система находится в состоянии i, то должны выполняться начальные условия (0) = 1, = 0 при n ≠ i.

Система дифференциальных уравнений (3.10) выведена для λi, μi, произвольно зависящих от n. В большинстве случаев зависимости λ_(n) и μ_(n) имеет специальный вид. В частности для примера 5

λ_n = (μ – n)λ, μ_n = μ и дифференциальные уравнения принимают вид:

 

P¹ ₀ (t) = - мλ P ₀(t) + μ P ₁ (t);

 

P¹ _n (t) = -[ (М – n)λ + μ ] P_n(t) + … + μ P _n+1 (t) (3.11)

 

P _M (t) = - μ P _M (t) + λP _{м -1}(t).

 

Эта линейная система дифференциальных уравнений, которая может быть решена обычными методами. При t → ∞ и ограниченных λ, μ, м система (3.11) имеет единственное решение [ 5 ], причем пределы

 

Существуют не зависят от начальных условий.

Предельные вероятности P _n удовлетворяют системе линейных уравнений, получаемых из (3.11), если положить в них P¹ _n (t) = 0. Для P _n из (3.11)

при P¹ _n (t) = 0 легко вывести рекуррентную формулу

 

(М – n) λ P _n = μ P _n + 1 (3.12)

Полагая n = М – 1, М = -2, …, 1, 0, получаем

(3.13)

 

Неизвестную постоянную P _M можно определить из условий, что сумма P

равна единице. Легко видно, что

(3.14)

 

Вероятность P ₀ может интерпретироваться для примера 5 как вероятность того, что ЭВМ не занята. Математическое ожидание числа сообщений, стоящих в очереди, равно

(3.15)

Так как P! в сумме дают единицу, получим, используя (3.14), что

(3.16)

или