История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-12-12 | 183 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
(в условных единицах).
Номер отказа | ||||||||||
Момент отказа | ||||||||||
Номер отказа | ||||||||||
Момент отказа | ||||||||||
Номер отказа | ||||||||||
Момент отказа |
Рис.4. данные об отказах вычислительной машины. Накопленное
число отказов в зависимости от времени.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЕРЕХОДНЫХ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В рассмотренных примерах для решения практических задач достаточно ограничиться анализом числа событий M (∆ τ), произошедших за произвольный, но фиксированный промежуток времени ∆ (t). Очевидно, что M (∆t) будет случайной величиной, принимавшей значения 0, 1, 2, ….
Пусть (∆t) есть вероятность того, что M(∆t) = n. В частности, (∆t) есть вероятность того, что не произойдет ни одного события, а (1- (∆t)) – вероятность того, что произойдет хотя бы одно событие.
Предположим, что при ∆t → 0
(3.1)
где ∆t = t 1 − t 2, λ - положительная постоянная.
Будем полагать, что распределение (∆t) не зависит от t 1, т.е. процесс однородный во времени. Тогда выражение (3.1) является производной величины
(∆t) при ∆t = 0. Для малого интервала длины n вероятность одного или большего числа событий равна
1 - (n) = λ h + 0 (h),
где через 0 (h) обозначена величина, убывающая быстрее, чем h.
Предположим, что выполнены следующие условия какого бы ни было число событий в период времени (0, t), условная вероятность того, что в течение интервала времени (t, t + h) произойдет событие, равна λ h а вероятность того, что произойдет более чем одно событие, равна 0 (h).
|
Однородный процесс, удовлетворяющий введенным предположениям, называется процессом Пуассона [5].
Из условия (3.1) легко вводится система дифференциальных уравнений для Рn (t). Для их вывода рассмотрим два смежных интервала (0, t) и (t, t+ h). Если n ≥ 1, то в интервале (0, t + h) может произойти ровно n событий тремя взаимно исключающими друг друга способами:
ни одного события за время (t, t+ h) и n событий за время (0, t);
одно событие за время (t, t+ h) и (n - 1) событие за время (0, t);
m ≥ 2 событий за время (t, t+ h) и (n - m) событий за время (0, t).
В соответствии с нашими предположениями вероятность первой из возмож- ностей равна произведению Pn (t) на вероятность того, что в интервале (t, t+ h) не произойдет ни одного события.
Вероятность того, что в интервале (t, t+ h) не произойдет события, равна
1- λ h – 0 (h). Вторая возможность имеет вероятность имеет вероятность
Рn-1(t) ∙ λ h + 0, h и, наконец, вероятность третьей возможности убывает быстрее, чем h. Суммируя рассмотренные вероятности возможных изменений, можно получить
Рn (t+ h) = Рn (t) (1- λ h) + Рn-1 (t) λ h + u (h). (3.3)
Это выражение можно записать в виде
Устремляя , получим, что
Р'n (t) = – λ Рn (t) + λ Рn-1(t), n ≥ 1 (3.4)
при n = 0 вероятности второй и третьей возможности равны нулю и выражение (3.4) имеет вид
Р'0 (t) = – λ Р0 (t). (3.5)
Выражение (3.5) является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, а его решение для Р0 (t = 0) =1 имеет Р0 (t) = e - λ t.
Подставляя e - λ t в выражении (3.4), для n =1 получим дифференциальное уравнение для вероятности Р1 (t). Аналогично можно найти члены уравнения (3.4) для n >1.
Для уравнений (3.4) - (3.5) ясен смысл параметра λ, он характеризует интенсивность событий, связанных с процессом Пуассона.
Вероятность Р1 (t) равняется λ t e - λ t. Эта вероятность характеризует при Р0 (t = 0) =1 вероятность наступления события к моменту времени t. Аналогично для n >1 получим
(3.6)
|
- вероятность того, что при Р0 (t = 0)= 1 за время t произойдет ровно n событий.
Распределение (3.6) является распределением Пуассона [ 1 ].
Процесс чистого размножения
Предположим, что в процессе Пуассона вероятность одного события за время (t, t+ h) зависит от числа событий за время (0, t). Такой процесс можно рассматривать как пуассоновский процесс с переменной интенсивностью, характеризующейся последовательностью λ0, λ1, λ2, ……
Удобной формой описания процесса Пуассона является описание его в пространстве состояний.
Пусть на время (0, t) произошло n событий. Будем говорить, что в этом случае система находиться в состоянии E n. Если за время h произойдет очередное событие, то система перейдет в состояние E n+1. В противном случае система останется в состоянии E n.
Определение 3.1.
Пуассоновский процесс, для которого переход из состояния E n возможен только в состоянии E n+1, называется процессом чистого размножения [ 5 ].
Если в момент t система находиться в состоянии E n (n = 0,1, 2, ….), то вероятность того, что за время (t, t+ h) осуществляется переход в E n+1, как это следует из (3.2), равна λ n h + 0 (h). Вероятность иных изменений имеет более высокий порядок малости, чем h.
Дифференциальные уравнения (3.4) и (3.5) имеют для процессов чистого размножения следующий вид:
Р' n (t) = – λ n Р n (t) + λ n-1Рn-1(t);
Р0 (t) = – λ 0 Р 0 (t) (n ≥ 1) (3.7) Начальным состоянием системы является E 0, причем Р 0 (0) =1, а Р 0 (t) = e - λ 0t.
Можно, однако, в начальный момент времени рассматривать систему в любом состоянии.
Обобщим рассмотренный процесс размножения. С этой целью предположим, что в системе возможны переходы из E n но только в E n+1, но и в состояние E n-1. Конечно, в этом случае состояние E n уже нельзя трактовать как число событий, реализованных на отрезке (0,t).
Процесс такого вида впервые был изучен в биологии, где с его помощью опи-сывались процессы рождения и гибели. Поэтому иногда такие процессы называют процессами " гибели и размножения" [ 5 ].
В задачах анализа и синтеза АСУ такие процессы находят достаточно широкое применение. Поэтому рассмотрим их подробнее.
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!