Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-12-12 | 274 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Раскрытием неопределенности в математическом анализе называют отыскание предела , когда функция непрерывна вблизи точки , но не определена в самой этой точке, а непосредственная подстановка в формулу записи этой функции значения приводит к выражению неопределенного вида:
[Подобная же задача возникает и при отыскании .]
Теперь, опираясь на теорему Коши, выведем правило Бернулли — Лопиталя для раскрытия неопределенностей, использующее производные.
Основными видами неопределенностей являются два: и .
Раскрытие этих неопределенностей означает вычисление предела отношения двух бесконечно малых и предела отношения двух бесконечно больших. Для этих двух видов неопределенностей и будет выведено сейчас правило Бернулли — Лопиталя. Вывод правила разбивается на 4 случая. Первые два посвящены отношению двух бесконечно малых (при и при ); вторые два - отношению двух бесконечно больших (при и при ).
Остальные виды неопределенностей, как увидим дальше, приводятся к основным двум видам: и .
I случай. Неопределенность вида (при ). Пусть требуется найти , когда и .
Примем ; тогда функции и будут непрерывными в точке .
Предположим, что обе функции и дифференцируемы вблизи точки , причем . Докажем при этих условиях, что если существует конечный или бесконечный предел отношения производных
, то , т. е. что искомый предел отношения функций в этом случае также существует и равен пределу отношения производных.
Для доказательства применим к функциям и на некотором отрезке теорему Коши, выбрав за произвольное значение , принадлежащее той окрестности точки , в которой обе функции будут непрерывны и, кроме того, дифференцируемы вблизи точки , т. е. во всех точках этой окрестности, кроме, может быть, самой точки . Получаем
|
Это равенство, в силу того что , приводится к виду
где ; если теперь устремить к , то одновременно и будет стремиться к ; поэтому
В этом предельном равенстве ничто не изменится, если и заменить просто символом :
(5.12)
В самом деле, есть произвольное, достаточно близкое к значение аргумента . Поэтому можно символ заменить просто символом в левой части предельного равенства. Далее, по условию существует
при произвольном способе стремления к ; значит, существует и равен ему . Поэтому можно в правой части предельного равенства заменять на .
Тот же результат получим, если вместо отрезка , рассмотрим отрезок . Равенство (14.12) и дает нам правило Бернулли — Лопиталя для рассматриваемого нами случая.
II случай. Неопределенность вида (при ). Докажем, что правило (5.12) остается в силе и в случае, когда .
Пусть требуется найти , если .
Предположим, что при всех достаточно больших по абсолютной величине значениях (т. е. при , ) обе функции дифференцируемы и и что существует (конечный или бесконечный) . Докажем, что тогда .
Для доказательства перейдем к новому аргументу, положив ; при , и .
Легко видеть, что к отношению правило (5.12) применимо: в окрестности точки обе функции дифференцируемы, производная и существует .
Но тогда, применяя правило (5.12), получим .
Возвращаясь к аргументу , находим то, что было необходимо. Это же правило сохраняется и в том случае, когда аргумент стремится к бесконечности только по положительным или только по отрицательным значениям, т. е. когда или .
III случай. Неопределенность вида (при ). Пусть теперь требуется найти , если .
Пусть и в этом случае будут соблюдены условия, оговоренные нами при рассмотрении I случая, т. е. пусть вблизи точки обе функции и дифференцируемы и . Докажем тогда, что если существует (конечный или бесконечный) , то правило Бернулли— Лопиталя (512) остается в силе, т. е. .
|
Для доказательства возьмем в окрестности точки два значения : и , причем пусть , если точки и берутся слева от , и , если берутся справа от . Тогда на отрезке (или к отношению функций и применима теорема Коши:
, (5.14) где (или ).
Разберем сначала случай, когда существует конечный предел отношения производных:
.
Задав произвольно малое положительное число , определим так, чтобы при выполнялось неравенство
. (5.15)
Выберем теперь так, чтобы и фиксируем его значение; тогда, согласно условию выбора , для всякого выбранного будем иметь и подавно и , поскольку заключено между и . Поэтому в силу неравенства (5.15) будем иметь
, или .
Заменяя в этом неравенстве, согласно (14.14), отношение равным ему отношением
, находим . (5.16)
Преобразуем это неравенство следующим образом: .(5.17)
Если теперь устремить к , не изменяя , то в силу условий будем иметь
.
Поэтому при заданном найдется таксе , что при , будет выполняться неравенство:
, или .
Перемножая теперь почленно неравенства (517) и (5.18), что возможно, поскольку члены неравенства (5.18) положительны, получаем .(5.19)
Но , ; следовательно, неравенство (5.19) показывает, что при выбранных значениях и разность между переменной величиной и постоянной будет величиной бесконечно малой.
Поэтому и, следовательно, . (5.20)
Если же , то, во-первых, тогда в достаточно малой окрестности точки (иначе, отношение было бы бесконечно большим), во-вторых, (поскольку величина, обратная к бесконечно большой, бесконечно мала), а потому к обратному отношению применимо предыдущее правило, следовательно,
, откуда следует справедливость и формулы (5.20).
IV Случай. Неопределенность вида (при ). Правило (5.20) сохраняется и при :
(5.21) при условии, что и что обе функции и дифференцируемы при всех достаточно больших по абсолютной величине значениях (, ), причем , и при условии, что существует (конечный или бесконечный) .
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!