Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-12-12 | 266 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Изображение по Лапласу оригинала в виде постоянной во времени величины
Пусть оригинал является постоянной величиной f(t) = U0 = const. Вычислим интеграл Лапласа:
.
Постоянной величине в области изображения соответствует эта же постоянная, делённая на оператор (р).
Не всегда размерность оригинала соответствует размерности изображения.
Существует такое преобразование, аналогичное преобразованию Лапласа, в котором совпадают размерности – это преобразование Карсона:
C(p) = p F(p).
Преобразование Карсона здесь рассматривать не будем.
Изображение показательной функции
Если функция времени представляет собой показательную функцию , то изображение можно получить с помощью интеграла Лапласа:
.
Таким образом:
.
Отсюда вытекает ряд важных следствий.
1) Положив a = jw, получим:
.
2) Функции е-?tt соответствует изображение:
3)
Если функция времени представляет собой синусоидальную величину, например,
ЭДС ,
то E(p), при , равно:
.
Изображение по Лапласу комплексной величины
Пусть , тогда при t = 0, и функция времени может быть выражена через комплекс напряжения:
.
Подвергнем вращающийся комплекс преобразованию Лапласа:
.
Изображение по Лапласу производной функции времени
Известно, что функции f(t) соответствует изображение F(р). Требуется найти изображение первой производной , если известно, что значение функции f(t) при t = 0 равно f(0).
Подвергнем функцию преобразованию Лапласа:
Интегрирование произведем по частям. Обозначив и , получим:
Следовательно,
,
но
a
Таким образом,
;
Изображение напряжения на индуктивности
Исходить будем из условия, что оригиналу тока i соответствует изображение тока I(р). Запишем оригинал напряжения на индуктивности:
|
По формуле определим изображение производной тока:
где i(0) – значение тока i при t = 0. следовательно,
.
Если i(0) = 0, то
66.Свойства преобразований по Лапласу
Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция f (t) действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям:
1. f (t) интегрируема на любом конечном интервале оси t;
2. f (t)=0 для всех отрицательных t;
3. f (t) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют такие постоянные М и 0, что |f(t)|<Me0t для всех t.
Изображением функции f (t) (по Лапласу) называется функция F(p) комплексного переменного p= +i, определяемая равенством
.
Тот факт, что F(p) есть изображение f (t), будем символически записывать так:
.
Для любой функции-оригинала f (t) изображение определено в полуплоскости Rep>0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией.
Из определения изображения следуют его простейшие свойства:
1. Линейность. Для любых комплексных постоянных a и b
(здесь и далее считать f(t)=F(p), g(t)=G(p)).
2.Теорема подобия. Для любого постоянного a >0
.
3. Дифференцирование оригинала. Если функции f (t), f(t), f (t),…, f (n)(t) являются функциями-оригиналами и f(t)=F(p), то
,
,
,
где под f (k)(0), (k= 1, 2,…, n-1) понимается .
4. Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на (-t) оригинала
или вообще
.
5. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р, т. е. если f(t)=F(p), то
.
6. Интегрирование изображения. Если интеграл сходится, то он служит изображением функции
.
7.Теорема смещения. Если f(t)=F(p), то для любого комплексного р0
.
8.Теорема запаздывания. Если f(t)=F(p), то для любого t >0
.
Важной для приложений является следующая:
Теорема единственности
Если две функции (t) и (t) имеют одно и то же L-изображение F(p), то эти функции тождественно равны.
Теорема о свертке
Определение. Сверткой функций f1(t) и f2(t) называется функция .
Свёртка обозначается символом f1 * f2: . Если f1(t) и f2(t) - функции-оригиналы, то их свёртка - тоже функция-оригинал, показатель роста которой превышает наибольший из показателей роста функций f1(t) и f2(t) не больше, чем на 1. Действительно, пусть , , , тогда , так как t < e t.
Свёртка функций коммутативна: f (t) * g (t) = g (t) * f (t), в этом легко убедиться, заменив в интеграле переменную τ на τ1 = t −τ.
Можно показать, что свёртка обладает свойством ассоциативности, т.е. что (f1 * f2) * f3 = f1 * (f2 * f3).
|
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!