Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-12-12 | 213 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Производная функции комплексного переменного определяется, как и производная в действительной области:
Здесь
z0, z _ комплексные и f(z0) = f(z0+z) - f(z).
Используя это определение и свойства пределов, несложно убедиться в справедливости следующих правил дифференцирования.
1. Сумма и произведение дифференцируемых в точке функций, есть функция и справедливы равенства:
2. Частное дифференцируемых в точке функций, при условии, что знаменатель в точке не равен нулю, есть дифференцируемая в этой точке функция,:
3. Сложная функция f ( (z)) дифференцируема в точке z 0, если в этой точке дифференцируема функция (z), а функция f (u) дифференцируема в точке u 0,
где u 0 = (z 0) и u = (z). При этом в точке z 0 имеет место формула:
Для элементарных функций комплексного переменного справедливы формулы дифференцирования, установленные для действительных значений аргумента.
Например, рассмотрим функцию f (z) = z 3.
По определению производной для любой точки z, принадлежащей комплексной области, записываем:
Предел существует для любой точки z, принадлежащей комплексной области и
(z 3)' =3 z 2.
Аналогично можно получить:
(zn)' = nzn -1 (n - действительное число).
ПРИМЕР 1. Вычисление значения производной функции коплексного переменного в точке.
Если f (z) = f (x+iy) = u (x, y) + iv (x, y), т.е. u (x, y) = Re f (z) и v (x, y) = Im f (z),
то справедливы следующие утверждения:
1. Если функция f (z) дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные ее действительной и мнимой частей
u (x, y) = Re f (z), v (x, y) = Im f (z)
и выполняется условие Коши-Римана:
2. Если u (x, y) и v (x, y) дифференцируемы в точке (x 0, y 0) (имеют непрерывные частные производные в этой точке) и выполняется условие Коши-Римана, то функция f (z) = f (x+iy) = u (x, y) + iv (x, y) дифференцируема в точке z 0 = x 0+ iy 0.
|
3. Производная дифференцируемой функции может быть записана по одной из формул:
Условие Коши-Римана
Теорема (необходимые условия дифференцирования). Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда функции имеют частные производные в точке удовлетворяют следующим условиям:
.
Условия (*) называются условиями Коши-Римана.
Доказательство.
Пусть . Какую бы не выбрали траекторию отношение будет стремится к одному и тому же числу.
Выберем 2 траектории.
(действительная ось)
(мнимая ось)
.
.
Сравнивая вещественные и мнимые части первого и второго уравнения получаем условие Коши-Римана.
Пример.
Конформные отображения
Взаимно однозначное отображение области D на область D* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциал этого преобразования есть композиция ортогонального преобразования и гомотетии.
Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.
Связанные определения
Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении.
Две метрики на гладком многообразии M называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция такая что . В этом случае тождественное отображение на M индуцирует конформное отображение .
Свойства
Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства при можно представить в виде конечного числа суперпозиций — изометрий и инверсий.
|
Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если и g — конформноэквивалентные метрические тензоры, то
где и W обозначают тензоры Вейля для и g соответственно.
Для конформно-эквивалентых метрик
Связности связаны следующей формулой:
Кривизны связаны следующей формулой:
если g(X,X) = g(Y,Y) = 1,g(X,Y) = 0,Xψ = 0 а Hessψ обозначает Гессиан функции ψ.
Формулу для секционных кривизн можно записать в следующем виде:
где f = e − ψ.
При вычислении скалярной кривизны n-мерного риманова многообразия, удобнее записывать конформный фактор в виде . В этом случае:
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!