Признаки сравнения. Признак Даламбера.

(Признак Даламбера) Допустим, что строго положительный ряд (29) таков, что существует (конечный или бесконечный) предел

(30)

Тогда при l > 1 ряд (28) расходится, а при l < 1 сходится.

Допустим сначала, что l > 1. Так как дробь стремится к l, то достаточно далекие значения этой дроби будут удовлетворять неравенству

(31)

Пусть, например, это неравенство выполнено для всех n, удовлетворяющих неравенству n > m. Тогда ряд

a_{m +1} + a_{m +2} + a_{m +3} +... (32)

таков, что у него отношение уже любого последующего члена к своему предыдущему оказывается удовлетворяющим неравенству (31). Значит (по лемме 1), ряд (32) расходится, а так как это есть остаток ряда (28), то этот последний ряд также расходится.

Пусть теперь l < 1. Закрепим какое-нибудь число q, удовлетворяющее неравенству l < q < 1 (например, положим ). Тогда найдется такое m, что при всех n > m будет

Снова составляя ряд (32) и применяя к нему лемму 2, убеждаемся сначала в сходимости ряда (32), а затем и ряда (28).

Доказанная теорема действительно имеет совершенно алгорифмический характер: для ее применения надо лишь составить отношение и изучить его поведение при безгранично возрастающем n. Никаких вспомагательных рядов для сопоставления с данным рядом искать уже не требуется. Надо заметить, однако, что теорема 3 применима далеко не всегда. Не говоря уже о том, что предела (30) может не существовать, этот предел может равняться 1, и тогда теорема также не позволяет сделать никакого заключения относительно сходимости ряда.

 

Признак сравнения. Признак коши

 

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда

с неотрицательными членами существует такое число d, 0 < d < 1, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится.

Предельная форма

Условие радикального признака равносильно следующему:

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда

, то

если ряд сходится,

если l > 1 ряд расходится,

если l = 1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.

 

Интегральные сходимости знакопостоянных рядов

Интегральный признак Коши

Пусть f (x) является непрерывной, положительной и монотонно убывающей функцией на промежутке [1, +∞). Тогда ряд

сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если .

Формулировка теоремы

Пусть для функции f(x) выполняется: (функция принимает неотрицательные значения) (функция монотонно убывает) (соответствие функции ряду) Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

 

 

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

Знакочередующиеся ряды

Переходя к рассмотрению рядов, члены которых уже не обязательно положительны, остановимся сначала на одном важном частном типе этих рядов - на рядах знакочередующихся, теория которых сравнительно проста.

Ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена суть числа разных знаков.

Несколько изменяя употреблявшуюся выше символику, будем обозначать через a_n не сам общий член ряда, а его абсолютную величину. Тогда, предполагая для определенности, что первый член знакочередующегося ряда положителен, мы сможем записать этот ряд в форме^*

a ₁ - a ₂ + a ₃ - a ₄ + a ₅ -... (36)

Теорема Лейбница. Если абсолютная величина общего члена знакочередующегося ряда убывает и стремится к нулю, то этот ряд сходится.

Действительно, допустим, что ряд (36) таков, что

a ₁ > a ₂ > a ₃ > a ₄ >..., (37)

(38)

Образуем частичные суммы S _{2 n} :

S ₂ = (a ₁ - a ₂),

S ₄ = (a ₁ - a ₂) + (a ₃ - a ₄),

S ₆ = (a ₁ - a ₂) + (a ₃ - a ₄) + (a ₅ - a ₆),

..............

Благодаря (37), все скобки положительны. Значит,

S ₂ < S ₄ < S ₆ <...

Иначе говоря, последовательность { S _{2 n} } возрастает. С другой стороны,

S _{2 n} = a ₁ - (a ₂ - a ₃) - (a ₄ - a ₅) -... - (a _{2 n -2} - a _{2 n -1}) - a _{2 n} ,

откуда ясно, что

S _{2 n} < a ₁.

Как известно, при этих условиях существует конечный предел

Но

S _{2 n +1} = S _{2 n} + a _{2 n +1},

откуда в связи с (38) вытекает, что сумма S _{2 n +1} с возрастанием n также стремится к S. Итак, при достаточно больших n сумма S_n будет сколь угодно близка к S независимо от четности n. Иначе говоря,

чем и доказана теорема.

Заметим, что теорема перестает быть верной, если отбросить условие убывания a_n. Например, знакочередующийся ряд

как легко видеть, расходится