Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-12-12 | 276 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Основные понятия
Многие задачи математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к линейным дифференциальным уравнениям. Уравнение вида
где bo(x) ≠ 0, b1(x),..., bn(x), g(x) - заданные функции (от х), называется линейным ДУ n-го порядка.
Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в первой степени. Функции bo(x), b1(x),..., bn(x) называются коэффициентами уравнения (3.11), а функция g(x) - его свободным членом.
Если свободный член g(x)=0, то уравнение (3.11) называется линейным однородным уравнением; если g(x) ≠ 0, то уравнение (3.11) называется неоднородным.
Разделив уравнение (3.11) на bo(x) ≠ 0 и обозначив
запишем уравнение (3.11) в виде приведенного:
Далее будем рассматривать линейные ДУ вида (3.12) и считать, что коэффициенты и свободный член уравнения (3.12) являются непрерывными функциями (на некотором интервале (а;b)). При этих условиях справедлива теорема существования и единственности решения ДУ (3.12) (см. теорему. 3.1).
12.Уравнение вида
Найти общий интеграл этого уравнения. Проинтегрируем по х все части, принимая во внимание
-любое фиксированное значение
-постоянная интегрирований получаем:
Чтобы найти часное решение, удовлетв начальному условиям, достаточно положить:
Некоторые типы ДУ приводящие к уравнениям первого порядка
Линейное однородное уравнение. Свойства. Определитель Вронского
Формула Лиувиля
Теорема 14.5.6.1. Определитель Вронского системы y1(x), y2(x), …, yn(x) решений однородного уравнения удовлетворяет уравнению где p1(x) - коэффициент при n - 1 производной.
Док-во. Докажем эту теорему для уравнения второго порядка Пусть y1(x), y2(x) - частные решения этого уравнения, тогда, . Так как y1(x), y2(x) - решения уравнения, то,
|
. Умножим первое из этих уравнений на - y2(x), второе - на y1(x) и сложим:
В первой из квадратных скобок стоит W(x), во второй -, поэтому , что и требовалось доказать.
Для доказательства этой теоремы в общей случае надо знать правило дифференцирования функциональных определителей: производная определителя n-го порядка равна сумме n определителей, которые получаются из исходного определителя построчным дифференцированием. Для определителя Вронского
так как первые n - 1 определитель содержат равные строки и равны нулю. Каждая из функций y1(x), y2(x), …, yn(x) удовлетворяет уравнению поэтому, поставив эти выражения в последнюю строку и пользуясь свойствами определителей, получим
т.е. .
Решим это уравнение относительно W(x). Функция W(x) = 0 является решением этого уравнения; если то Интегрируем последнее выражение в пределах от x0 до x: (Мы отбросили знак модуля у дроби, так как W(x) - непрерывная функция, не обращающаяся в нуль, поэтому значения W(x) и W(x0) всегда имеют один знак). Окончательно. (28)
Формула (28)называется формулой Лиувилля. Из неё также следуют результаты предыдущих разделов: если W(x0) = 0, то ; если , то ни в одной точке интервала (a, b).
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!