Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-12-12 | 208 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
· ОДУ первого порядка, разрешённое относительно производной
· Система n ОДУ первого порядка, разрешённая относительно производных (нормальная система n -го порядка)
· ОДУ n -го порядка, разрешённое относительно старшей производной
Теоремы о разрешимости задачи Коши для ОДУ
Пусть в области рассматривается задача Коши:
где . Пусть правая часть является непрерывной функцией в . В этих предположениях имеет место теорема Пеано, устанавливающая локальную разрешимость задачи Коши: Пусть a>0 и b>0 таковы, что замкнутый прямоугольник
принадлежит области D, тогда на отрезке [ x 0 − α, x 0 + α], где α = min{ a, b / M }, , существует решение задачи Коши.
Указанный отрезок называется отрезком Пеано. Заметим, что, локальный характер теоремы Пеано не зависит от гладкости правой части. Например, для f (x, y) = y 2 + 1 и для x 0 = 0, y 0 = 0 решение y (x) = tan(x) существует лишь на интервале (− π,π). Также отметим, что без дополнительных предположений относительно гладкости правой части, нельзя гарантировать единственность решения задачи Коши. Например, для возможно более одного решения.
Чтобы сформулировать теорему о единственности решения задачи Коши, необходимо наложить дополнительные ограничения на правую часть. Будем говорить, что функция f(x,y) удоволетворяет условию Липшица на D относительно y, если существует постоянная L такая, что
для всех , i=1,2.
Пусть правая часть f(x,y) дополнительно удовлетворяет условию Липшица на D относительно y, тогда задача Коши не может иметь в D более одного решения.
Также отметим, что хотя эта теорема имеет глобальный характер, тем не менее она не устанавливает существование глобального решения.
|
Для существования глобального решения необходимо наложить условия на рост правой части по y: пусть функция f удовлетворяет условию
где A>0 - константа не зависящая ни от x, ни от y, тогда задача Коши имеет решение в D. В частности, из этой теоремы следует, что задача Коши для линейных уравнений (с непрерывными по x коэффициентами) имеет глобальное решение.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для номального уравнения первого порядка.
Нормальная система в векторных обозначениях примет вид
где .
Определение. Вектор-функция называется решением нормальной системы (1) на промежутке , если:
1.
2.
3.
Рассмотрим начальное условие
Точка (x 0, y 0) называется начальной точкой, а ее координаты x 0, y 0 называются начальными данными.
Определение. Задача нахождения решения нормальной системы (1), удовлетворяющего начальному условию (2), называется задачей Коши.
Система уравнений вида
где , назыается системой интегральных уравнений.
Вектор-функция называется решением на промежутке системы (3), если:
1.
2.
3.
Лемма об эквивалентности. Вектор-функция - решение задачи Коши (1) при условии (2) тогда и только тогда, когда решение системы интегральных уравнений (3).
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!