Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-12-10 | 393 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
По определению предела числовой последовательности ряд
сходится в данной области, если, как бы мало ни было число , можно указать такое целое число N, что при всех выполняется неравенство . В этом случае для функциональных рядов могут представляться два случая:
1. Можно найти число N, общее для всех значений х, входящих в область сходимости ряда, в этом случае записанный выше ряд называется равномерно сходящимся в данной области.
2. Такого общего числа N для всех х, лежащих в области сходимости, нет: каково бы ни было n, найдется в области сходимости такое число х, что . В этом случае в данной области ряд сходится неравномерно.
Признак (Вейерштрасса) равномерной сходимости ряда
Ряд равномерно сходится в данной области, если существует такой сходящийся числовой ряд положительных членов, что для всех значений х, лежащих в этой области, имеет место неравенство: . В этом случае числовой ряд называется можорантой функционального ряда .
Пример. Ряд – равномерно сходящийся в любой области,
т. к. числовой ряд – абсолютно сходящийся и .
(Числовой ряд – сходящийся ряд Дирихле).
Ряды Тейлора
12.5.1. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ
В РЯД ТЕЙЛОРА
(по степеням где – фиксированная точка). Если непрерывная функция бесконечное число раз дифференцируема в окрестности точки , то она может быть представлена в виде ряда Тейлора:
12.5.2. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ
В РЯД ТЕЙЛОРА
называется достаточным условием сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции и заключается в следующем. Чтобы ряд Тейлора сходился к порождающей его функции т. е. сумма ряда Тейлора совпадала с данной функцией: достаточно, чтобы где остаточный член и (форма Лагранжа).
|
Пример. Разложить в ряд Тейлора функцию по степеням .
Решение. Запишем ряд Тейлора для данной функции при
и вычислим значения данной функции и ее производных в точке
……………….. ……………….
Найденные значения подставим в ряд Тейлора и получим разложение данной функции по степеням :
Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера:
Решая последнее неравенство, находим интервал
Границы этого интервала исследуем особо.
Подставляя в ряд , затем , получим числовые ряды и , которые расходятся, так как для каждого из этих рядов
Следовательно, интервал сходимости полученного ряда Тейлора для функции есть промежуток .
Замечание. Исследуя остаточный член формулы Тейлора, можно убедиться, что полученный ряд сходится к данной функции именно на указанном интервале.
РЯД МАКЛОРЕНА
Если то ряд Тейлора называется рядом Маклорена и разложение функции в ряд Маклорена называется разложением функции по степеням х и имеет следующий вид:
Замечание. Значение функции и суммы ряда совпадают лишь в точках области сходимости.
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!