Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-12-10 | 177 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
● Полем называется часть пространства, каждой точке которого поставлено в соответствие определенное значение некоторой физической величины. Если физическая величина скалярная, то поле называется скалярным, а если векторная, то – векторным.
Скалярное поле считается заданным, если в каждой его точке Р определена скалярная функция , называемая функцией поля. Примерами скалярных полей могут служить поле распространения температуры, поле потенциала в электрическом поле и т. д. Поле называется стационарным, если величина не зависит от времени.
● Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое множество точек, в которых функция принимает постоянное значение, т. е. .
В частности, если скалярное поле плоское, то функция поля U зависит от двух переменных х и у. В этом случае рассматривают линию уровня. Линией уровня функции называется такая линия на плоскости , в точках которой функция сохраняет постоянное значение, т. е. уравнение определяет линии уровня.
● Пусть задана функция поля . Рассмотрим какой-нибудь луч l, выходящий из произвольной точки . Направление этого
луча зададим углами α, β, γ, которые он образует с положительными направлениями осей координат. Если l 0 – единичный вектор, направлен-
ный по лучу l, то его проекциями будут направляющие косинусы: . Пусть точка лежит на луче l. Расстояние обозначим через ρ. Тогда предел отношения изменения функции к изменению величины ρ, при условии называется производной от функции по направлению l в точке Р и обозначается .
Теорема. Для всякой дифференцируемой функции существует производная по любому направлению , такая что
где cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы направления l.
|
Абсолютная величина производной определяет величину скорости, а знак производной – характер изменения функции U (возрастание или убывание) в точке Р по направлению луча l. Среди всех направлений можно выделить такое, по которому скорость изменения функции будет наибольшей. Это направление задается вектором, который называют градиентом функции U в точке Р и обозначается или .
Итак, . Модуль градиента в точке Р равен наибольшей скорости изменения скалярного поля:
Таким образом, каждой точке скалярного поля соответствует определенный вектор – градиент функции , характеризующий наибольшую скорость изменения этой функции.
Можно показать, что в каждой точке совпадает с нормалью к поверхности уровня скалярного поля, проходящей через эту точку. Таким образом, градиент в каждой точке перпендикулярен касательной плоскости к поверхности уровня, проходящей через данную точку, значит, его проекция на эту плоскость равна нулю. Следовательно, производная по направлению, касательному к поверхности уровня, проходящей через данную точку, равна нулю.
Векторное поле
● Векторным полем называется часть пространства, в каждой точке которого задана векторная величина (силовое поле, поле скоростей текущей жидкости и др.).
Пусть векторное поле образовано вектором
● Потоком вектора а через поверхность σ называется поверхно-стный интеграл вида
В случае, когда векторное поле представляет поле скоростей текущей жидкости, то величина потока K определяет количество жидкости, протекающее через поверхность σ.
● Дивергенция или расходимость векторного поля а в любой его точке М выражается формулой:
где значения частных производных берутся в точке М.
● Теорема Остроградского–Гаусса
Поток вектора а изнутри замкнутой поверхности σ равен тройному интегралу по объему V, ограниченному этой поверхностью, от дивергенции векторного поля:
|
● Работа в силовом поле вдоль кривой находится с помощью криволинейного интеграла по формуле
Если l замкнутый контур, то криволинейный интеграл называется циркуляцией.
● Ротором (вихревым вектором) векторного поля называется вектор
.
Замечание. Удобно координаты вектора находить с помощью специального определителя:
● Теорема Стокса
Поток ротора поля через поверхность σ равен циркуляции вектора по границе l этой поверхности.
.
Замечание. Направление интегрирования по контуру l и направление нормали n к поверхности σ согласованы так, что с конца нормали n обход вдоль контура l виден против хода часовой стрелки.
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!