Измерение степени тесноты корреляционной связи

 

Коэффициент линейной корреляции между и определяется по формуле (7.1).

 

(7.1)

 

.

 

 

Можно рассчитать по другой формуле.

 

; ;

 

Мы должны различать корреляцию (взаимосвязь) и причинность (каузальность). При исследовании можно обнаружить, что когда возрастает , возрастает также и . Но это не обязательно означает, что служит причиной . Связь здесь может быть чисто случайной или порождаться каким-либо другим фактором, неучтенным в нашем исследовании. Величина статистического показателя парного коэффициента корреляции абсолютно ничего не говорит о направлении причинно-следственных связей, т.е. о том, какая из рассматриваемых переменных является независимой и определяет поведение другой переменной. Эти вопросы должны быть решены в ходе теоретического анализа, т.е. априори. В экономических исследованиях иногда довольно трудно установить причинно-следственные связи. Например, определена положительная связь между уровнем образования и доходом. Можно предположить, что более высокий уровень образования является причиной, а более высокий доход – следствием. Но можно поставить вопрос и по другому, что люди, имеющие более высокие доходы, имеют больше возможностей в получении более высокого уровня образования. Но не исключен и третий вариант, что на эти два исследуемых показателя влияет и ряд других факторов, которыми обладают те или иные индивидуумы (способность, настойчивость в достижении цели и др.).

Таким образом, высокая корреляция может свидетельствовать лишь о линейной форме связи и ее можно связывать с любой из перечисленных выше трех возможностей о причинах взаимосвязи. Нельзя отбрасывать и четвертый вариант – о случайности взаимосвязи, поэтому всегда следует опасаться ложной корреляции.

Ложными корреляциями называются такие корреляции, которые не могут быть объяснены с теоретической точки зрения. Ложная корреляция была введена К. Пирсоном в связи с измерением тесноты связи между относительными величинами (индексами) . Причем не коррелированны. Если даже взаимно независимы, то индексы , образованные отношением этих величин к одному и тому же знаменателю будут коррелированны друг с другом.

Достоверность значения парного коэффициента корреляции проверяется сравнением расчетного значения критерия Стьюдента, рассчитанного по формуле , где – ошибка коэффициента корреляции, с критическим значением критерия Стьюдента с выбранным уровнем значимости , равным и степенью свободы . Если , то парный коэффициент корреляции значим.

Как отмечалось выше, взаимосвязь между исследуемыми признаками может быть обусловлена другой причиной, что есть третья переменная, которая оказывает сильное влияние на две первые переменные и может служить причиной высокой коррелированности их. Чтобы найти чистую корреляцию между двумя первыми переменными исключают (элиминируют) влияние других факторов, используя понятия частного коэффициента корреляции.

Для определения частных коэффициентов корреляции (7.2) можно использовать элементы обратной матрицы парных коэффициентов корреляции.

 

(7.2)

 

где – элементы обратной матрицы парных коэффициентов корреляции и размерностью ; .

 

Например, элементы обратной матрицы будут такими.

 

где .

Значимость частного коэффициента корреляции находится также как и парного коэффициента корреляции, только ошибку частного коэффициента корреляции определяют так: , где - количество элиминированных переменных.

Рассмотрим примеры расчетов парных и частных коэффициентов корреляции и их значимости.

Пример 1. Расчет парного коэффициента корреляции и его значимости.

 

Таблица 7.3

Расчет парного коэффициента корреляции

Цена,	Спрос,
		-2
		-12		-60
			-5	-15
		-2
			-10	-180
			-15	-420
			-5	-40
		-12		-120
		-22		-330
		-7		-35

 

Рис. 7.6

дол; кг.

с увеличением цены спрос падает.

Найдем расчетное значение критерия Стьюдента:

 

;

 

Критические значения - критерия находим из таблицы с уровнем значимости и степенью свободы . Так как , то парный коэффициент корреляции значим.

Пример 2. Частная корреляция.

 

Таблица 7.4

Данные для расчета частных коэффициентов корреляции

Энерговооруженность	Фондовооруженность	Выработка

 

Рассчитаем матрицу парных коэффициентов корреляции между и и обратную матрицу .

 

 

 

Расчет частных коэффициентов корреляции

 

;

;

;

. Так как ,то частные коэффициенты корреляции значимы

Уравнение регрессии

 

Регрессионный анализ применяется в том случае, когда установлена причинная связь между исследуемыми переменными, одна из которых независимая переменная (причина), а другая зависимая переменная (следствие). Если имеется одна независимая переменная и одна зависимая переменная регрессионная модель называется парной регрессией. Если независимых переменных несколько, то модель называется множественной регрессией.

Линейную связь для зависимой переменной от независимой переменной можно записать следующим образом.

 

.

Данное уравнение называется линейной теоретической регрессией, - параметры теоретической регрессии, а - случайная ошибка, представляет собой все те независимые переменные, которые вероятно влияют на , но не поддаются измерению или по какой либо другой причине не включены в регрессионную модель. Для определения необходимо использовать все значения и в генеральной совокупности. Для выборочных данных строят эмпирическое уравнение регрессии , где - оценка параметров . Случайная ошибка определяется . Для нахождения оценок используют метод наименьших квадратов, который минимизирует сумму квадратов отклонений наблюдаемых значении от теоретических .

 

 

Для минимизации суммы квадратов отклонений берут частные производные по неизвестным параметрам и приравнивают к нулю.

 

 

Если каждое уравнение разделим на , то получим.

 

 

Из этой системы можно определить .

 

; (7.3)

 

Метод наименьших квадратов предполагает следующие предпосылки:

1. Математическое ожидание случайных ошибок имеет среднею равную нулю и ошибки нормально распределены.

Для проверки этого условия можно построить гистограмму распределения ошибок – ось абсцисс, а ось ординат частоты и по гистограмме можно визуально установить близко ли распределение ошибок к симметричному с центром равным нулю.

2. Дисперсия случайного отклонения постоянна для любого заданного значения , следовательно, постоянна и дисперсия зависимой переменной и называется гомоскедастичностью. Когда нет постоянства дисперсии ошибок, то такое явление называется гетероскедастичностью. Последствия этого следующие: оценки параметров не будут иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками, стандартная ошибка будет смещена и выводы, полученные по критериям, будут неверны.

Для проверки гомоскедастичности можно использовать графики: на оси ординат откладывают , и на оси абсцисс для одной независимой переменной откладывают и для множественной регрессии - . Если обнаружена гетероскедастичность (рис. 7.7), то применяют взвешенный МНК.

 

Рис. 7.7 Рис. 7.8

 

3. – это допущение означает некоррелированность ошибок. Если это условие не выполняется, то ошибки не будут независимы и такое явление называется автокорреляцией. Наиболее часто встречается в рядах динамики. Наличие или отсутствие автокорреляции проверяется с помощью критерия Дарбина - Уотсона .

4. Мультиколлинеарность (для множественной регрессии) – высокая коррелированность матрицы парных коэффициентов корреляции независимых переменных. Получаемые параметры регрессии имеют большие стандартные ошибки и проверка их значимости по - критерию Стьюдента не имеет смысла. Оценки параметров регрессии очень чувствительны к изменению объема выборки и к результатам наблюдений.

 

Множественная корреляция

 

Матричная запись МНК. Введем обозначения:

 

 

где – вектор наблюдений зависимых переменных; – матрица наблюдений независимых переменных; – количество наблюдений; – количество независимых переменных.

 

Модель регрессии в матричной форме можно записать так . Для определения минимизируем сумму квадратов отклонений вектора от линии регрессии.

Дифференцируя это выражение по вектору и приравнивая к нулю, получим.

 

(7.4)

Оценка параметров регрессии по матрице парных коэффициентов корреляции.

Результаты корреляционного анализа можно использовать для построения регрессионной модели. Коэффициенты корреляции представляются в виде вектора столбца зависимой и независимых переменных и матрицы независимых переменных.

 

 

По этим данным находятся вектор стандартизованных коэффициентов регрессии .

 

(7.5)

 

Оценка влияния независимых переменных на зависимую переменную затруднена, если независимые переменные имеют различные единицы измерения. В этом случае используют стандартизованные коэффициенты. Модель регрессии в стандартизованном масштабе имеет вид:

 

 

где – теоретические стандартизованные значения зависимой переменной, наблюдаемые значения которых получены так , у которой средняя ; – стандартизованные значения независимых переменных, полученных так , у которых средние и .

Интерпретация коэффициентов.

Если независимые переменные изменятся на величину своего стандартного отклонения , то зависимая переменная изменится на величину .

Они дают также возможность провести сравнительную оценку влияния независимых переменных на зависимую переменную. Для этого, выбрав по абсолютной величине и разделив на эту величину остальные коэффициенты, определим, какая из независимых переменных, оказывает наибольшее влияние на зависимую переменную.

Для перехода от стандартизованного масштаба к натуральному масштабу используют формулы:

 

 

Одним из условий классической регрессионной модели является линейная независимость матрицы независимых переменных, это эквивалентно тому, что матрица имеет полный ранг . Рангом матрицы называется порядок наибольшего отличного от нуля определителя. При нарушении этого условия, т.е. когда один из столбцов матрицы , есть линейная комбинация остальных столбцов, то такая матрица называется вырожденной и ее определитель равен нулю. В практических исследованиях такая ситуация встречается редко, чаще встречаются случаи, когда матрица имеет полный ранг, но между независимыми переменными имеется высокая корреляция, т. е. матрица близка к вырожденной. Тогда говорят о наличии мультиколлинеарности. Признаки мультиколлинеарности таковы:

1. Небольшое изменение в исходных данных приводит к существенному изменению оценок параметров модели;

2. Оценки параметров модели имеют большие стандартные ошибки и не значимы по - критерию Стьюдента, в то время как модель в целом по критерию значима;

3. Параметры модели имеют другое направление воздействия на зависимую переменную по сравнению с теоретическими представлениями.

4. Большие отклонения собственного значения матрицы от .

Если при построении модели возникла проблема мультиколлинеарности, то, как будто самым простым способом решить эту проблему, является исключение из модели одной из независимых переменных, сильно коррелированной с другой независимой переменной. Но такой подход вряд ли может быть оправдан, так как это может привести к неправильной спецификации модели (количество независимых переменных и форма связи), что в конечном случае приведет к смещению параметров модели. Можно попробовать преобразовать переменные, если есть возможность использовать дополнительные данные или же применить специальные методы решения проблемы мультиколлинеарности (регрессия на главных компонентах, ридж-регрессия).

Для обнаружения мультиколлинеарности использую следующие подходы:

1. Ферраром и Глобером предложен критерий оценки мультиколлинеарности, суть которого в следующем. Если независимые переменные попарно линейно независимы, то корреляционная матрица является единичной, следовательно, ее обратная матрица также является единичной. Выборочная корреляционная матрица и ее обратная отличаются от единичной матрицы. На этом свойстве основан предложенный ими критерий, который подчиняется распределению Фишера с степенями свободы.

 

 

где – диагональные элементы обратной корреляционной матрицы независимых переменных; – количество независимых переменных; – количество наблюдений.

 

Если , то принимается гипотеза отсутствия мультиколлинеарности независимой переменной с остальными независимыми переменными при уровне значимости a=0.05, а если , то принимается гипотеза присутствия мультиколлинеарности независимой переменной с остальными независимыми переменными при a=0.01.

2. В пакетах прикладных программ ”Statistica”, “Statgraphis plus” и других используется критерий обнаружения мультиколлинеарности, основанный на множественном коэффициенте детерминации между независимой переменной и остальными независимыми переменными, определенный как (Variance Inflation Factor).

 

 

Если , то , то не зависит от остальных независимых переменных, если , то зависит от остальных независимых переменных и . Определив для каждой независимой переменной и если – это свидетельствует о наличии мультиколлинеарности между и остальными независимыми переменными.

3. В пакете прикладных программ SPSS наличие мультиколлинеарности контролируется состоянием индексов, определяемых как:

 

где – собственные значения исследуемой матрицы независимых переменных.

 

Большие значения индексов свидетельствуют о наличии проблемы мультиколлинеарности.

Оценка адекватности регрессионной модели.

Рассматриваемую линейную модель можно записать так:

 

Вычтем из этого уравнения среднее значение зависимой переменной .

 

 

Возводя в квадрат и просуммировав это соотношение, получим

 

 

Доказывается, что выражение . Учитывая это, получим.

 

 

Это означает, что квадрат полной вариации обозначим его , равен сумме квадратов вариации вследствие регрессии , обозначим его и слагаемого, которое называется суммой квадратов ошибок , обозначим , тогда это выражение можно переписать так.

 

 

Поскольку истинное значение по выборке определить не возможно, оно заменяется выборочной несмещенной дисперсией , а корень квадратный из дисперсии называется стандартной ошибкой оценки модели и определяется

 

(7.6)

 

Чем ближе к , тем меньше выражение , и, следовательно, ближе к , поэтому показателем точности подгонки модели к наблюдаемым значениям может служить величина . Но эта величина зависит от единиц измерения наблюдаемых величин. Если мы ее сделаем безразмерной, разделив на , то с учетом этого получим.

 

 

Величина показывает долю вариации вследствие регрессии, обозначается и называется коэффициентом детерминации. Определяется

 

(7.7)

 

Если используется модель в стандартизованном масштабе, то коэффициент детерминации определяется так.

 

 

Корень квадратный из коэффициента детерминации называется множественным коэффициентом корреляции.

 

 

Недостатком коэффициента детерминации является то, что при добавлении в модель даже незначимых независимых переменных он увеличивается, поэтому вводится скорректированный коэффициент детерминации, свободный от такого недостатка.

 

(7.8)

 

Значимость параметров определяется с помощью - критерия Стьюдента. Вначале определяются расчетные значения - критерия Стьюдента по формуле:

 

(7.9)

 

где – оценки параметров модели; – стандартные ошибки параметров модели.

 

(7.10)

 

где – стандартная ошибка модели; – диагональные элементы обратной матрицы независимых переменных, соответствующие оценкам параметров модели для .

 

Затем сравниваются с критическим значением из таблицы Стьюдента с выбранным уровнем значимости и степенью свободы . Если расчетные значения больше критического, то все параметры модели значимы. Если некоторые из параметров модели незначимы, то их исключают из модели и параметры модели определяют вновь.

Проверка адекватности всей модели, т.е. коэффициента детерминации осуществляется с помощью критерия Фишера.

 

(7.11)

 

где – дисперсия, отнесенная к регрессии (объясненная дисперсия); – остаточная регрессия.

 

Эта статистика подчиняется распределению Фишера со степенями свободы . Если при выбранном уровне значимости , то связь существенна между зависимой и независимыми переменными.

Для определения наличияавтокорреляции используют критерий Дарбина – Уотсона.

 

(7.12)

 

Можно показать, что статистика Дарбина – Уотсона заключена в пределах от 0 до 4, а при отсутствии автокорреляции . Какие значения, кроме , указывают на отсутствие автокорреляции остатков? Для этого разработаны специальные таблицы критических точек статистики Дарбина–Уотсона с различным уровнем значимости. В ней при заданном уровне значимости на пересечении столбца, соответствующему количеству независимых переменных , и строки, соответствующей числу наблюдаемых данных , находятся два значения – нижняя граница и – верхняя граница критических точек. Использование этих границ объясняется следующей схемой. При попадании расчетного значения критерия в одну из указанных границ, делают заключение об отсутствии или наличии автокорреляции.

 

 

где 0 – dl – положительная автокорреляция; dl – du – интервал неопределенности; du – 4-du – отсутствие автокорреляции; 4-du – 4-dl – отрицательная автокорреляция.

 

При попадании расчетного критерия в границы неопределенности, то требуется проведения дополнительных исследований, например взятие первых разностей в исходных данных.

Обнаружение гетероскедастичности – использование графического представления (ось ординат) и (ось абсцисс). Если на графике с ростом или наблюдается возрастания остатков, то дисперсия постоянная (гомоскедастичность).

Интерпретация модели. Если построенная модель прошла все проверки, рассмотренные выше, то такую модель можно использовать для анализа и прогноза.

Пусть дана функция . Приращение независимой переменной есть , а относительное приращение независимой переменной есть . Соответствующее приращение зависимой переменной есть , а относительное приращение зависимой переменной есть .

Отношение относительного приращения зависимой переменной к относительному приращению независимой переменной показывает во сколько раз относительное приращение зависимой переменной больше относительного приращения независимой переменной, или какую долю составляет от независимой переменной. Это выражение может быть выражено в процентах, при умножении числителя и знаменателя на 100% и его можно записать в следующем виде.

 

 

Если существует производная функции , то

 

 

Такой предел называется эластичностью функции и для средних значений зависимой и независимой переменной это выражение можно переписать так.

 

(7.13)

 

Для функции многих переменных (множественная регрессия) такой предел называется частными коэффициентами эластичности.

 

(7.14)

Коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов в среднем изменится значение зависимой переменной при изменении независимой переменной на .

Частный коэффициент детерминации показывает, какую долю вариации зависимой переменной объясняется вариацией независимой переменной.

 

;

 

Для оценки доли влияния независимой переменной в общем влиянии всех независимых переменных, можно использовать формулу.

 

Прогнозирование по регрессионным моделям – полученные модели можно использовать для прогнозирования. Обозначим вектор столбец, состоящий из независимых переменных, по которым мы хотим осуществить прогноз, через . Стандартная ошибка прогноза определяется по формуле.

 

(7.15)

 

Используя стандартную ошибку прогноза можно вычислить интервал, в котором будет находиться прогнозируемая величина с заданным уровнем значимости и со степенью свободы из таблицы Стьюдента ( - для двухсторонней таблицы или – для односторонней).

 

(7.16)

 

К полученным точечным и интервальным прогнозам нужно относиться крайне осторожно, особенно если в полученную модель подставлять значения независимых переменных, выходящих за границы выборочных данных, так как полученная модель отражает те тенденции, которые сложились в прошлом. Если предположить что данные соотношения не будут кардинально меняться, например технология, численность, трудоемкость и т. п., то можно надеяться на успешный прогноз.

Нелинейные м