Возникновение позиционной системы счисления

Еще в древности при обмене товарами (торговле) возникла необходимость в записи натуральных чисел. Простейшей формой записи чисел были зарубки на дереве, палке. Но для больших чисел такая запись была неудобна из – за большого количества используемых зарубок. Более экономной записью чисел было объединение зарубок в группы, состоящие из одинакового числа элементов. Так как чаще всего счет велся с помощью пальцев рук, то в одну группу относили обычно 10 черточек, каждая группа изображала пальцы рук одного человека. Чтобы не было путаницы, счет вели несколько человек, каждый из которых занимался единицами одного разряда.

Так, пусть считают счетчики А,В,С. Сначала счетчик А загибал по очереди пальцы на руках, когда все пальцы А были использованы, счетчик А пальцы разгибал, а счетчик В загибал один палец. Далее загибал пальцы счетчик В, а когда все его пальцы оказывались занятыми, то он их разгибал, а счетчик С загибал один палец и т.д. Результат выражался примерно следующим образом: три пальца счетчика С, пять пальцев счетчика В и семь пальцев счетчика А. В нашей терминологии: счетчик А считал единицы, счетчик В – десятки, счетчик С – считал сотни, в итоге получили число 357.

В разные исторические эпохи использовались разные символы для записи чисел. Например, в Египте более 4000 лет назад для записи чисел использовались иероглифы: - для единицы, - для десятки; так, число 45 записывали: (четыре десятки и пять единиц). Однако, это же число 45 можно было записать в виде , т.е. символы сами по себе могли быть записаны в любом месте. Такие системы записи чисел называются непозиционными.

Большим достижением в развитии математики оказалось создание позиционных систем счисления, таких систем, в которых один и тот же знак (одна и та же цифра) может обозначать различные числа в зависимости от положения этого знака в записи числа (его позиции). Первой позиционной системой счисления оказалась шестидесятиричная система, зародившаяся в Древнем Вавилоне и оставившая свои следы и в нашем времени; так 60 секунд составляют одну минуту, а 60 минут – один час. Наибольшее же распространение получила десятичная система счисления, связанная со счетом на пальцах, в этой системе можно уже было записывать и называть очень большие числа. Десятичную систему разработал в третьем веке до н.э. древнегреческий ученый Архимед.

Современная письменная нумерация является позиционной десятичной, она основана на счете десятками. Так, 10 единиц образуют десяток, 10 десятков образуют одну сотню и т.д. Десятичной записью натурального числа n называется представление этого числа в виде суммы следующего вида: . В записи - целые неотрицательные числа, принимающие значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (следует учитывать, что ). Например, или .

Однако возможны позиционные системы, основанные не на счете десятками, а на счете парами, тройками и др. Например, при счете парами получаем двоичную систему счисления, лежащую с основе работы компьютерной техники. Для записи числа в системе счисления, отличной от десятичной,

Выбирается натуральное число «t», большее единицы, и считается основанием системы счисления. По аналогии с десятичной системой счисления, любое натуральное число можно записать в виде суммы

или . Здесь все

. Всякая позиционная система характеризуется своей единицей второго разряда, это и есть «основание» системы: в десятичной системе основание – число 10, в двоичной системе – число 2.

Например, если t = 5, то по образцу записи числа в десятичной системе, можем записать разложение числа «n» по степеням основания. Так как все т.е. в записи используются цифры только до 4: 0,1,2,3,4. Тогда:

. Так как рассматриваемое число записано в пятеричной системе, то окончательная форма его записи несколько другая:

; индекс «5» внизу числа указывает, что число рассматривается в пятеричной системе счисления. Так же можно записать различные числа в других системах счисления: .