Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-11-27 | 180 |
5.00
из
|
Заказать работу |
,
если .
≤
.
Число называется средневзвешенным значением функции на отрезке [ a; b ].
Вычисление определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница
Если функции f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и для нее известен неопределённый интеграл
,
где F (x) – первообразная функции f (x), то определенный интеграл может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница
, (9.2)
то есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
При вычислениях по формуле (9.2) обычно пишут в виде
.
Пример:
Вычислить определенные интегралы:
1. .
Решение:
2. .
Решение:
3. .
Решение:
.
Методы вычисления определенных интегралов
Замена переменной в определенном интеграле
При вычислении определенного интеграла часто полезно заменить переменную интегрирования х на новую переменную t при помощи подстановки х = φ (t) или t = ψ (х) (φ (t) и ψ (х) – непрерывные функции, имеющие непрерывные производные на отрезке ). При этом необходимо перейти от старых пределов интегрирования а и b к новым пределам и , которые определяются из уравнений
, .
Замена переменной осуществляется по формуле
. (9.3)
Подчеркнем, что при вычислении определенного интеграла методом замены переменной по формуле (9.3) в отличие от неопределенного интеграла возврат к старой переменной интегрирования не требуется.
Пример:
С помощью подходящих подстановок вычислить интегралы.
1. .
Решение: переходим к новой переменной интегрирования, полагая (t > 0). При х = 0 получаем t = 0, а при х = 9 – t = 3; поэтому в соответствии с формулой (9.3) получаем
.
2. .
Решение: применим универсальную тригонометрическую подстановку . Если , то , а при – t = 1. Тогда
.
3. .
Решение: применяя подстановку (t > 0), получим
.
Интегрирование по частям в определенном интеграле
Если функции u (x) и v (х) имеют непрерывные производные на отрезке [ a; b ], то справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла:
, (9.4)
где символ обозначает разность .
Пример:
Применяя формулу (9.4), вычислить интегралы:
1. .
Решение: положим , тогда
.
Подставляя полученные значения в формулу (9.4) получаем
.
2. .
Решение:
.
В случае, если не удаётся вычислить неопределённый интеграл, то прибегают к приближённым методам вычисления определённых интегралов.
Задания для самостоятельной работы
1. Вычислить определенные интегралы:
1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;
1.4. ; 1.5. .
2. Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. ; 2.4. .
Несобственные интегралы
интегралы с бесконечными пределами
Если функция f (x) интегрируема на любом отрезке [ a; b ], где a < b< ∞, то полагают
(9.5)
Если существует предел в правой части равенства (9.5), то интеграл называется сходящимся, и расходящимся, если указанный предел не существует.
Аналогично, если функция f (x) интегрируема на любом отрезке [ a; b ], где – ∞ < a < b, то полагают
И, если функция f (x) интегрируема на любом отрезке [ a; b ] числовой оси то,
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!