Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-11-27 | 293 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Отношение двух бесконечно малых при х → а функций можно заменить в пределе на отношение их производных , если эти функции дифференцируемы в заданной точке и существует предел отношения их производных. Это правило справедливо и для бесконечно больших функций.
При раскрытии неопределённостей вида и можно применить равенство:
. (7.13)
Доказательство этого утверждения следует из теоремы 5 (Коши).
Вычисление предела по формуле (7.13) называется правилом Лопиталя.
Если частное в точке х = а также есть неопределённость вида или , то следует перейти к отношению вторых производных и т.д.
Неопределённости вида 0∙∞ и ∞ – ∞ следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы получилась неопределённость или и далее воспользоваться правилом Лопиталя.
Неопределённости вида 00 или ∞0 или 1∞ раскрываются после логарифмирования функции и нахождения предела её логарифма.
Пример:
Вычислить данные пределы по правилу Лопиталя:
1.
Решение: подстановка предельного значения х = 1 приводит к неопределенности вида . Применяя правило Лопиталя, получим
2.
Решение: преобразуем функцию:
Подстановка предельного значения х = ∞ приводит к неопределенности вида . Применяя правило Лопиталя дважды, получим
.
3.
Решение: имеем неопределенность ∞ – ∞. Преобразуем функцию:
.
4.
Решение: имеем неопределенность . Применяя правило Лопиталя, получим
– опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.
– применяем правило Лопиталя еще раз.
.
Исследование функций
Возрастание и убывание функций. Экстремум функций
Определение. Функция f (х) называется возрастающей в точке х 0, если при любом достаточно малом h > 0 выполняется условие
|
f (х 0 – h) < f (х 0) < f (х 0 + h).
признаком возрастания функции в точке х0 является условие f ′(х 0) > 0.
Определение. Функция f (х) называется убывающей в точке х 0, если при любом достаточно малом h > 0 выполняется условие f (х 0 – h) > f (х 0) > f (х 0 + h).
признаком убывания функции в точке х0 является условие f ′(х 0) < 0.
Определение. Функция f (х) называется возрастающей в интервале (а; b), если для любых двух точек х 1 и х 2 из этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. для х 2 > х 1 всегда
f (х 2) > f (х 1).
Определение. Функция f (х) называется убывающей в интервале (а; b), если для любых двух точек х 1 и х 2 из этого интервала большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. для х 2 > х 1 всегда
f (х 2) < f (х 1).
Определение. Точка х 0 называется точкой локального минимума функции, если при любом достаточно малом h > 0, функция убывает в интервале (х 0– h; х 0), и возрастает в интервале (х 0; х 0+ h). Значение f (х 0) называется минимумом функции.
Определение. Точка х 0 называется точкой локального максимума функции, если при произвольном достаточно малом h > 0, функция возрастает в интервале (х 0– h; х 0), и убывает в интервале (х 0; х 0+ h). Значение f (х 0) является максимумом функции.
Экстремум функции означает наличие минимума или максимума функции в точке х 0. Точка х 0 есть точка экстремума функции.
Условия существования экстремума функции
Необходимое условие существования экстремума:
Если функция f (х) имеет в точке х 0 экстремум, то производная f '(х) обращается в ноль в точке х = х 0, f '(х 0) = 0 (теорема 2 Ферма), или не существует.
Первый достаточный признак существования экстремума:
Если при произвольном достаточно малом h > 0, выполняются неравенства f '(х 0 – h) > 0 и f '(х 0 + h) < 0, то функция f (х) в точке х 0 имеет максимум. Если же при этих условиях выполняются неравенства f '(х 0 – h) < 0 и f '(х 0 + h) > 0, то функция f (х) в точке х 0 имеет минимум. Говорят, что производная в точке максимума с слева и справа меняет знак с плюса на минус, а в точке минимума – с минуса на плюс.
|
Второй достаточный признак существования экстремума:
Если f '(х 0) = 0, а f ''(х 0) ≠ 0, то функция f (х) имеет экстремум в точке х 0. При f ''(х 0) < 0 – максимум; при f ''(х 0) > 0 – минимум.
Если f ''(х 0) = 0 (при f '(х 0) = 0), то вопрос о наличии в точке х 0 экстремума или перегиба (переход графика с вогнутости на выпуклость или наоборот) решается взятием следующей по порядку производной, до тех пор, пока не появится производная отличная от нуля f (n)(х 0) ≠ 0. При n чётном в точке х 0 будет экстремум, а если n нечётное, то перегиб.
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!