Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-11-27 | 238 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема 1: если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и в концах его имеет значения, противоположные по знаку, то f (x) обращается в нуль по крайней мере в одной точке интервала [ a; b ].
Геометрически результат теоремы очевиден. Если f (а) f (b) < 0, то точки А (а; f (а)) и лежат в разных полуплоскостях, на которые ось ОХ делит плоскость ХОY. График непрерывной функции у = f (x), соединяющий эти точки, обязательно пересечет ось ОХ по крайней мере в одной точке (рис.6.2).
Теорема 2: Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], причем f (а)= А, f (b)= В. Тогда каким бы ни было число С, заключенное между числами А и В, на отрезке [ a; b ] найдется по крайней мере одна точка ξ такая, что f (ξ) = С.
То есть, непрерывная на отрезке [ a; b ] функция принимает все промежуточные значения между её значениями на концах отрезка.
Теорема 3: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она ограничена на нём, то есть существует такое число К > 0, что для всех верно неравенство | f (x)| ≤ К.
Теорема 4: Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она достигает на этом отрезке своих точной нижней и верхней граней, то есть на отрезке [ a; b ] найдутся такие точки ξ и η, что
f (ξ) = m = (рис. 6.3).
Пример:
Исследовать на непрерывность, найти точки разрыва и указать характер разрыва функции
Решение: функции и х непрерывны в любой точке, непрерывным будет и их отношение во всех точках, где х ≠ 0. В точке х = 0 данная функция не определена, и поэтому разрывна. Но существует следовательно, разрыв в этой точке устранимый.
Положим , тогда функция
будет непрерывной в точке х = 0 (рис. 6.4).
Пример:
Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции
.
Решение: данная функция непрерывна для всех х ≠ 1(это следует из свойств непрерывных функций). Вычислим пределы слева и справа в точке х = 1. Предел слева: , так как и
|
Предел справа:
так как
Таким образом, пределы слева и справа существуют, но не равны, следовательно, точка х = 1 является точкой разрыва второго рода (рис. 6.5).
Пример:
Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции
Решение: данная функция является дробно-рациональной, и поэтому она непрерывна во всех точках, в которых знаменатель отличен от нуля. В точке х = 2 функция не определена, и, следовательно, разрывна. Вычислим односторонние пределы. Предел слева:
Предел справа: Следовательно, х = 2 – точка разрыва второго рода (рис. 6.6).
Задания для самостоятельной работы
1. Вычислить пределы:
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10.
2. Исследовать следующие функции на непрерывность и найти точки разрыва:
2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. .
2.5. .
Ответы
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1. 1.6. – 1. 1.7. 1. 1.8. . 1.9. 1.10. 3. 2.1. В точках х = 0, х = 1 разрыв второго рода. 2.2. В точке х = 1 устранимый разрыв. 2.3. В точке х = 0 разрыв первого рода. 2.4. Точек разрыва нет, в интервале (–1; +1) функция неопределенна. 2.5. В точке разрыв второго рода.
Вопросы для самоподготовки
1. Что называется отображением?
2. Частные классы отображений.
3. Область определения и график функции.
4. Элементарные функции.
5. Предел функции в точке.
6. Условие существования предела функции.
7. Свойства функций, имеющих предел.
8. Бесконечно малые функции.
9. Эквивалентные бесконечно малые функции.
10. Первый и второй классические пределы.
11. Непрерывность функции в точке.
12. Свойства непрерывных функций.
13. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
14. Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!