История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-11-27 | 254 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Модулем действительного числа х называется неотрицательное число, определяемое условием
Если e > 0 - произвольное число, то из неравенства следует, что или .
Свойства модуля действительного числа
Пусть а и b – произвольные действительные числа. Тогда:
1. 2. ;
3. – неравенство Коши – Буняковского; 4.
Ограниченные множества
Определение. Множество D Ì R называется ограниченным сверху, если существует такое действительное число b, что х £ b, " х Î D. Аналогично - D ограничено снизу, если существует такое действительное число а, что х ³ а, " х Î D.
Определение. Множество D называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, то есть множество D ограничено в том и только в том случае, если оно расположено на конечном отрезке [ а; b ] (рис.4.1).
Множество, состоящее из конечного числа точек - ограничено.
Примеры:
1. Множество натуральных чисел ограничено снизу любым числом а £ 1.
2. Множество отрицательных чисел ограничено сверху любым числом
b ³ 0.
Определение. Множество неограниченное сверху или снизу называется неограниченным.
Теорема: множество D Ì R –неограниченно, если " М > 0 $ х Î D, такое что ç х ç> М.
Например, множество целых чисел Z неограниченно. Неограниченными множествами являются бесконечные интервалы (-¥; +¥), (-¥; b), (а; +¥).
Нижние и верхние грани множества
Если действительное число b ограничивает множество D сверху, то b называется верхней гранью множества D. Любое число больше b, тоже является верхней гранью множества D.
Наименьшая верхняя грань множества D называется точной верхней гранью и обозначается sup D = M или sup{ x } = M (латинское слово supremum - наибольший).
|
Из определения точной верхней грани вытекают следующие свойства:
M есть верхняя грань множества D, то есть " х Î D выполняется неравенство х £ M;
" e > 0 найдется число х Î D, такое, что M – e < х £ M.
Аналогично определяется точная нижняя грань множества D. Наибольшая нижняя грань множества D называется точной нижней гранью и обозначается
inf D = m или inf{ x } = m (латинское слово infimum - наименьший).
Точная нижняя грань m множества D характеризуется свойствами:
m есть нижняя грань множества D, то есть " х Î D выполнено неравенство х ³ m;
" e > 0 найдется число х Î D, такое, что m < х £ m + e.
Принадлежность множеству D верхней и нижней грани необязательна. Существование inf D и sup D у ограниченного множества очевидно.
Точной верхней гранью неограниченного множества является (+¥). Точной нижней гранью неограниченного множества является (–¥).
Например, sup [ a; + ¥) = +¥, inf (–¥; b ] = –¥, sup Z = +¥, inf Z = –¥.
Окрестность точки
Определение. Расстоянием между числами х 1 и х 2 называется число r(х 1, х 2) = ê х 1 - х 2 ê.
Определение. e - окрестностью точки a Î R., называется множество действительных чисел
U e(a) = r (х, a) = ê х - a ê< e (рис.4.2).
Проколотой окрестностью называется окрестность, из которой удалена сама точка a (рис.4.3).
Комплексные числа
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!