Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-10-08 | 370 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Двойным интегралом называют кратный интеграл с .
. Здесь — элемент площади в рассматриваемых координатах.
В прямоугольных координатах: , где — элемент площади в прямоугольных координатах.
Геометрический смысл двойного интеграла
Пусть функция принимает в области только положительные значения. Тогда двойной интеграл численно равен объему вертикального цилиндрического тела, построенного на основании и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности .
Физический смысл
Если рассматривать перемещение, то первая производная - скорость, вторая - ускорение.
Соответственно, интеграл от ускорения - это скорость, двойной интеграл - перемещение.
Если рассмотреть график ускорения, то двойной интеграл от него - площадь под графиком.
Область D называется правильной в направлении оси OY (ОХ), если любая прямая, параллельная оси OY(OX) и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает ее границу в двух точках.
Рис. 23.3
Рис. 23.4
Граница области D, правильной в направлении оси OY (рис. 23.3), может быть задана уравнениями
и двойной интеграл в этом случае вычисляется по формуле
(23.5)
причем сначала вычисляется внутренний интеграл
в котором х считается постоянной. Выражение справа в (23.5) называется повторным, или двукратным интегралом.
Граница области D, правильной в направлении оси ОХ (рис. 23.4), может быть задана уравнениями:
Тогда двойной интеграл вычисляется по формуле
(23.6)
Если область D правильная в направлении ОХ и OY (правильная область), то применимы обе формулы.
Рассмотрим геометрический смысл формулы (23.5), для формулы (23.6) рассуждения аналогичные (вывод формул приведен в [6. С. 310]).
Предположим, что и граница области D является правильной в направлении оси OY.
Из разд. 23.1
Подсчитаем теперь объем V методом поперечных сечений (см. п.18.2.1):
(23.7)
Проводя через т. (х,0,0) плоскость перпендикулярно оси ОХ, получим в сечении криволинейную трапецию
(рис. 23.5), с площадью
для точек линии при постоянном х зависит только от у:
- (23.8)
площадь поперечного сечения цилиндрического тела. Подставляя (23.8) в (23.7), получаем
Рис. 23.5
Таким образом, в формуле (23.7) слева и справа имеем объем цилиндрического тела.
Формулы (23.5) и (23.6) выведены в предположении, что область имеет специальный вид.
В общем случае область D разбивают на конечное число частей, являющихся правильными, и вычисляют для каждой из частей интеграл по формуле (23.5) или (23.6). Интеграл по всей области (свойство 3°) равен сумме полученных интегралов.
Если область ГУ. то формулы (23.5) и (23.6)
примут вид
Пример:
Решение разбивается на три этапа:
1) построение области D;
2) переход к повторному интегралу, расстановка пределов интегрирован ия;
3) вычисление повторного интеграла.
Решая систему находим т. пересечения параболы
и прямой (1, 1), (-2, 4). Строим область, (-2, 4) D (рис. 23.6). Так как область правильная, то можно воспользоваться формулами (23.5) и (23.6).
При решении по (23.5) область придется разбить на две: ОВС и СВА, так как линия ОБА задается разными уравнениями:
Рис. 23.6
При вычислении по формуле (23.6) приходим к одному повторному интегралу Закончим решение, пользуясь последней формулой:
Дифференциал уравнения. Основные понятия. Нахождение уравнения по его решению
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные , т. е. уравнение вида
Если искомая функция есть функция одной независимой переменной , дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
Когда искомая функция есть функция двух и более независимых переменных, например, если , то уравнение вида
называется уравнением в частных производных. Здесь — неотрицательные целые числа, такие, что .
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение — уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение , где — известная функция, — уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение — уравнение 9-го порядка.
Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале называется функция , определенная на интервале вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по на . Например, функция является решением уравнения на интервале . В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь
Подставляя выражения и в дифференциальное уравнение, получим тождество
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!