Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-10-08 | 346 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Несобственным интегралом второго рода назовём тогда интеграл
значение которого равняется левостороннему пределу Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения; в этом случае будем условно писать Геометрически вычисление несобственного интеграла второго рода представляет собою (при ) исчерпание плошади неограниченной фигуры под графиком функции над с помощью вычисления плошадей ограниченных фигур, получающихся над отрезком , а затем приближением правого конца к точке (см. рис.).
Итак, площадь неограниченной фигуры, изображённой на рисунке, по определению равна значению несобственного интеграла .
Аналогично интегралу по полуинтервалу от функции с особенностью в точке , определяется несобственный интеграл второго рода от функции , имеющей особенность в точке полуинтервала : если существует предел В случае существования указанного предела интеграл называется сходящимся, а в случае, когда предел не существует, -- расходящимся. Свойства несобственных интегралов второго рода
Свойства несобственных интегралов второго рода, по сути дела, повторяют свойства несобственных интегралов первого рода: меняется лишь база предела, задающего несобственный интеграл, с для интеграла на для интеграла от функции с особенностью в точке : Теорема 4.5 Пусть фиксированы числа и функция интегрируема на любом отрезке , где , и имеет особенность в точке . Тогда если несобственный интеграл сходится, то при любом сходится интеграл . Обратно, если при некотором сходится интеграл , то сходится и интеграл . Доказательство. Докажем, что из сходимости следует сходимость при . Из аддитивности интеграла следует, что при любом имеет место равенство
|
(4.4*) |
Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем:
причём несобственный интеграл в правой части сходится по условию теоремы, а интеграл -- постоянное слагаемое. Значит, предел, задающий интеграл , существует и равен . Докажем второе утверждение теоремы, используя формулу (4.4*). По условию теоремы интеграл по отрезку , не содержащему особенностей функции, существует, так что при любом из формулы (4.4*) получаем:
Перейдём к пределу при и получим, что
Теорема 4.6 (теоpема сpавнения) Пусть даны две функции и , заданные на и имеющие особенность в точке , причём при всех выполняется неравенство Тогда из сходимости интеграла от большей функции следует сходимость интеграла от меньшей функции, причём
(4.5) |
а из расходимости интеграла от меньшей функции, следует расходимость интеграла от большей функции:
Теорему 4.6 можно использовать для исследования сходимости интегралов, не вычисляя их значений. Теорема 4.7 Пусть функция имеет особенность в точке . Если интеграл сходится, то сходится также интеграл причём имеет место неравенство Определение 4.8 Пусть функция обладает теми же свойствами, что в предыдущей теореме. Если несобственный интеграл сходится, то несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся. Если несобственный интеграл расходится, а несобственный интеграл сходится, а несобственный интеграл называется условно сходящимся. Предыдущая теорема означает, что любой абсолютно сходящийся интеграл является сходящимся. Теорема 4.8 Пусть для функции , имеющей особенность в точке и интегрируемой на любом отрезке , где , существует мажоранта на , причём несобственный интеграл сходится. Тогда несобственный интеграл тоже сходится, и .
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!