Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-10-08 | 422 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Геометрический смысл определенного интеграла
Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция y = f(x) неотрицательна на отрезке [a;b] и непрерывна на нем, где a < b,
численно равен площади S под кривой y = f(x) на [a; b] (рис. 3).
Рисунок. 3
Действительно, при стремлении к нулю ломаная (рис. 4) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.
Рисунок. 4
Учитывая сказанное, можно указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,
и т.д.
(Первый из интегралов – площадь квадрата со стороной единичной длины; второй – площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий – площадь четверти круга единичного радиуса).
Методы интегрирования определенных интегралов заменой переменной и по частым.
Метод замены переменной в определенном интеграле
Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывна на , причем , и для всех выполняется . Тогда
.
Пример 1. Вычислить интеграл .
Решение.
Обозначим , тогда , . Подставим старые пределы интегрирования в формулу , получим новые пределы интегрирования , . Следовательно,
2. Метод интегрирования по частям
Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда
.
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Пример.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
При построении определенного интеграла предполагалось, что выполняется два условия:
пределы интегрирования и конечны;
подынтегральная функция ограничена на отрезке интегрирования .
|
Интегралы с бесконечными пределами интегрирования или от неограниченных функций называются несобственными интегралами.
Пусть определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке , где .
Несобственным интегралом с бесконечным пределом интегрирования (интегралом 1-го рода) называется предел интеграла при :
.
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предел не существует или равен , то расходящимся.
Пусть - первообразная функция для на промежутке . Тогда можно применить формулу Ньютона-Лейбница:
.
Обозначая , формулу можно записать так:
.
Пример 7. .
Данный интеграл является сходящимся.
Геометрически несобственный интеграл от дает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху линией , слева , снизу осью ОХ. Если интеграл сходится – площадь конечна, а если расходится – площадь бесконечна.
0
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом:
и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами:
.
Пример 8.
Данный интеграл является сходящимся.
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!