История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-10-08 | 333 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.
Определение. Объем тела может быть вычислен по формуле , где S()-площадь попереного сечения тела T плоскостью x= . в частности, если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oх, то , а если вокруг оси Оу, то [5].
а) Тело и его объем. Произвольное ограниченное множество точек пространства будем называть телом.
Основные определения и утверждения, относящиеся к телам, аналогичны соответствующим определениям и утверждениям, содержащимся в главе 4 нашей курсовой работы. Поэтому некоторые утверждения для тел (см. теоремы 1 и 2) будут опущены.
По аналогии с понятием клеточной фигуры назовем тело клеточным, если его можно представить как объединение конечного числа непересекающихся параллелепипедов, т. е. тел вида М = {{x,y,z): ≤ х ≤ , ≤у ≤ , ≤ z ≤ }, а также тел, получаемых из М удалением части границы (или всей границы) тела М. Объемом параллелепипеда М назовем число ( — )( — )( — ), а объемом клеточного тела — сумму объемов составляющих его параллелепипедов[14].
Рассмотрим подробнее. Пусть требуется найти объем V тела (рис 14), причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox:S = S(x), a≤ x≤ b[13].
Рисунок 14.
1. Через произвольную точку x [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении x. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; x] величина v есть функция от x, т. е. v = у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).
2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой
|
“элементарный слой” тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и x + Δx, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.
3. Находим искомую величину V путем интегрирования dА в пределах от a до b:
V = S(x) dx
Объем тела вращения
Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), имеет объем
.
Рисунок 6
Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [a;b] на n частей точками a= . На каждом частичном отрезке [ ] построим прямоугольник (рис. 15). При вращении вокруг оси Ox каждый прямоугольник опишет цилиндр. Найдем объем i-го цилиндра, образованного вращением прямоугольника PMNQ:
,
где .
Сумма объемов всех n цилиндров приближенно равна объему данного тела вращения:
.
С другой стороны эта сумма является интегральной суммой для интеграла . Так как функция непрерывна на [a;b], то предел этой суммы при
существует и равен определенному интегралу . Таким образом,
[15].
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!