Определение числового ряда, частичной суммы, сходящегося ряда.

Рассмотрим производную числовую последовательность а1, а2,….аn, …

Формально из элементов этой последовательности составим сумму а1+а2+а….+аn=

Такую сумму принято называть числовым рядом или просто рядом а1,а2,…аn, … элементы члены ряда

An – общий член ряда

Сумма первых n членов ряда называется частичной суммой n-переменных

Если для данного ряда предел последовательности частичных сумм не сущетствует, то такой рад называется расходящимся.

Свойства сходящихся числовых рядов.

1⁰ Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на сходимость(расходимость) ряда

2⁰ Если ряд а₁+а₂+…..+а_n+…..=3_n=1^%а_n сходится и имеет сумму S то сход. Также и ряд 3_n=1^%ka_n, где k не равняется 0 и постоянное число, при чём сумма этого ряда равна kS

3⁰ Если ряды 3_n=1^%а_n и 3_n=1^% b_n сходятся и суммы их соответственно равны S’ и S”, то и ряд 3_n=1^%(а_n" b_n) также сходится, при чём его сумма S=S’"S”

2⁰ и 3⁰ следуют из соответствующих свойств сходящихся последовательностей

4⁰ Общий член а_n сходящегося ряда стремиться к 0 при n®0

Необходимое условие сходимости числового ряда. Сходимость гармонического ряда.

Т. Если ряд сходится, то его общий член стремится к 0.

а_n=S_n-S_n-1 и, поскольку ряд сход., S_n®S и S_n-1®S при n®¥, где S- сумма ряда отсюда и след. Справедл. Данного св., кот. Наз. Необх. Услов. Сход. Ряда(если оно не соблюдается то ряд расходится)

Замеч. 4⁰ явл. необх. Усл., но не явл. достаточн.,т.е. по нему нельзя провер. сход. ряда

 

Сходимость Гармонического ряда

1+1/2+1/3+1/4+…..+1/n+…..=3_n=1^%1/n

lim _nY%1/n=0, но тем не менее этот ряд расход.

П.п. гармонич. Ряд сходится:

lim _nY%S_2n=S

lim _nY%S_n=S

S_2n- S_n

lim _nY%(S_2n- S_n)=S-S=0

S_2n- S_n=1/(n+1)+1/(n+2)+…..+1/2n>1/2n+1/2n+1/2n+1/2n=n*2n=1/2

Мы пришли к противоречию,Y гармонич. Ряд расходится.

 

Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.

Необходимое и достаточное условие сход. Числового ряда с неотриц. Членами

Пусть 3_n=1^%a_n и любой а_n$0

Тm. Для того, чтобы ряд с неотриц. Членами сходился н. и д., чтобы послед. Частичных сумм {S_n} этого ряда была ограниченной.

Доказ. Необходимость: пусть ряд 3_n=1^%a_n сходится, тогда по опред послед. Частичных сумм {S_n} также сходится, следовательно по tm всякая сходящаяся послед. Ограничена

Достаточность: пусть {S_n} – ограниченная последовательность,т.к. любой а_n$0, то 0#S₁#S₂#…..#S_n, т.е. послед. Монотонная неубывающая, по tm всякая Монотонная неубывающая последовательность сходится и ряд также сходится

Признак сравнения.

Пусть для двух рядов си неотрицательными членами (1)и (2)выполняется неравенство a£b для всех n. Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а расходимость ряда (1) влечет за собой расходимость ряда (2)

Доказательство: Пусть Sn и Sn’ частичные суммы соответственно рядов 1 и 2. Из условия теоремы следует, что Sn£Sn’ Если ряд 2 сходится, то по теореме о необходимом и достаточном условии сходимости ряда последовательность {Sn’} ограничена, значит, монотонная последовательность {Sn} также ограничесна, т.е. она также сходится. Если ряд 1 расходится, то ряд 2 не может сходиться, иначе в силу первой части доказательства будет сходится и ряд 1. ч.т.д.

Замечание: для того, чтобы проверить сходимость-расходимость числового ряда его надо сравнить с заведомо сходящимся рядом *например бесконечно убывающей геометрической прогрессией) или заведомо расходящимся (например с грамоническим рядом или бесконечной программой с q>1)

41.
Признак Даламбера.

Пусть дан ряд åa_n (111) с положительными членами и существует

n=1

предел lim ((a_n+1)/(a_n))=r. Тогда:

n®¥

а) при r<1 ряд сходится; б) при r>1 ряд расходится.

Док-во: а) Пусть r<1 и lim ((a_n+1)/(a_n))=r. Докажем, что ряд (111)

n®¥

сходится..По определению предела числовой последовательности для любого e>0 существует номер N такой, что при n³N выполняется неравенство ½(a_n+1)/(a_n) - r½< e. Отсюда следует, что r-e< (a_n+1)/(a_n)<r+e (1). Т. к. r<1, то e можно взять настолько малым, что будет выполнено неравенство r+e<1. Полагая r+e= q, на основании правого из неравенств (1) имеем (a_n+1)/(a_n)<q, или a_n+1 < a_nq для n=N, N+1, N+2… (2) Придавая n эти значения, из последнего неравенства получаем a_N+1<a_Nq, a_N+2<a_N+1q< a_Nq², a_N+3<a_N+2q< a_Nq³, …….., т.е. члены ряда a_N+1+a_N+2+ a_N+3+… меньше соответствующих членов ряда, составленного из элементов геометрической прогрессии: a_Nq+ a_Nq²+ a_Nq³+… (3). Так как q<1, то ряд (3) сходится. Но ряд (2) получен из данного ряда (111) в результате отбрасывания конечного числа первых членов, след-но, по теореме о свойстве сходящихся рядов ряд (111) сходится.

б) Пусть теперь r>1. Докажем, что ряд (111) расходится. Возьмём e настолько малым, чтобы r-e<1. Тогда при n³N в силу левого из неравенств (1) выполняется неравенство (a_n+1)/(a_n)>1 или a_n+1> a_n. Таким образом, члены ряда, начиная с некоторого номера N, возрастают с увеличением их номеров, т.е. общий член ряда a_n не стремится к нулю при n®¥. Следовательно, по теореме о необходимом условии сходимости ряда, ряд (111) сходится.

Замечание. При r=1, как показывают примеры, ряд (111) может как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью др. признаков.

42. Интегральный признак Коши. ¥

Пусть дан ряд f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+…= åf(n)

n+1 (222), члены которого являются значениями некоторой функции f(x, положительной, непрерывной и убывающей на +¥

полуинтервале [1, +¥). Тогда, если ò f(x)dx (333) сходится, то сходится и

1

ряд (222).Если же (333)расходится, то и ряд (222) также расходится.

Док-во: Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), с боковых сторон прямыми x=1, x=n, снизу осью Ох. Впишем в эту трапецию и опишем около нее две ступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников с основаниями [1,2], [2,3],…, [n-1,n] и высотами f(1), f(2), f(3),…, f(n-1), f(n). Тогда, принимая во внимание геометрический смысл определённого интеграла, имеем

n

f(2)+f(3)+…+f(n)<òf(x)dx (444)<f(1)+f(2)+…+f(n-1), или, короче,

n 1

S_n-f(1)<òf(x)dx<S_n-f(n).

1 n n

Отсюда получаем: S_n<f(1) + òf(x)dx (1), S_n>f(n) + òf(x)dx (2),где S_n –

1 1

частичные суммы рассматриваемого ряда. Пусть интеграл (444) сходится. Это значит, что существует lim (444)=I.

n®¥ Так как f(x)>0, то последовательность (444) возрастает с увеличением n и ограничена сверху своим пределом: (444)<I. Из неравенства (1) следует, что S_n<f(1) + I, т.е. последовательность частичных сумм {S_n} ряда (222) ограничена. По теореме о необходимом и достаточном условиях сходимости ряда с неотрицательными членами ряд (222) сходится.

Пусть теперь интеграл (333) расходится. В этом случае (444)®+¥ при n®¥ (как монотонно возрастающая неограниченная последовательность). Из неравенства (2) следует, что S_n®+¥ при n®¥, т.е. последовательность частичных сумм {S_n} ряда (222) расходится и, следовательно, ряд расходится.