Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-10-07 | 286 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Если функция u=f(x1,x2…xn) имеет в точке Mo( частные производные первого порядка по всем переменным Х1,Х2,Х3…Хn и имеет в т Мо локальный экстремум, то все частные проиводные первого порядка в точке Мо обращаются в 0.
Все точки в который частные производные обращаются в 0, в которых все необъодимые условия экстремума выполнены, называются стационарными точками.
Замечание: необходимое условие экстремума может быть записано так: Если функция u=f(m) дифференцируема в точке Мо и имеет в этой точке локальный экстремум, то дифференциал функции du(Mo)=0(тождественное равенство), т.е.
Достаточные условия локального экстремума функции N переменных.
Пусть функция u=f(M) один раз дифференцируема в некоторой окрестности точки Мо и два раза дифференцируема в самой точке Мо, пусть кроме того Мо – стационарная точка. Тогда:
1. Если d2u в точке Мо положительно определенная квадратичная форма относительно переменных dx1,dx2,…,dxn, то Мо – точка локального минимума
2. Если d2u в точке Мо отрицательно определенная квадратичная форма, то Мо – точка локального Максимума.
3. Если d2u в точке Мо знакопеременная квадратичная форма, то экстремум в точке Мо не существует.
Частный случай:
[Т] пусть функция u=f(x,y) один раз дифференцируема в окрестности точки Мо с координатами (хо,уо) и два раза дифференцируема в самой точке Мо и пусть Мо – стационарная точка, тогда если в точке Мо выполнено условие:
, то функция имеет в точке Мо локальный экстремум, причем если в точке Мо>0, то Мо точка локального минимума.
Если (Мо)<0 то Мо точка локального Max
Если же то экстремум в точке Мо не существует.
Неявные функции.
Def Если переменная u, являющаяся по смыслу функцией переменных х1,х2,…,хn задается посредством функций уравнений F(U,X1,x2,…,xn)=0, то говорят, что функция задана неявно.
|
Частные производные неявно заданной функции вычисляются по формулам:
Рассмотрим совокупность М неявных функций, которые задаются посредством системы М функциональных уравнений:
(1)
Пусть функции определены, как решение М функциональных уравнений (2)
(2)
Решением системы (2) будет называться совокупность функций, таких что при их подстановки в систему все уравнения этой системы образуются в тождества.
Def Это решение будем называть непрерывным и дифференцируемом в некоторой области D изменения переменных Х1,Х2,…Хn Если каждая из функций U1,U2,…Um непрерывна и дифференцируема в этой области.
=
Такой определитель называют определителем Якоби или Якобианом.
[T] Система (2) будет разрешима, а решение непрерывно и дифференцируемо, если функция f1,f2,…,fn дифференцируема в окрестности точки Мо, непрерывна в точке Мо, Якобиан отличен от 0 и F1=F2=…=Fn в точке Мо
Условный экстремум
Задача отыскания экстремума функции аргументы которой удовлетворяют дополнительному условию связи называется задачей отыскания условного экстремума.
Рассмотрим вопрос отыскания экстремума функции z=f(u1,u2,…um,x1,x2,…,xn)
Будем говорить, что эта функция при наличии условий связи (2) имеет условный максимум (минимум) в точке Мо, координаты которой удовлетворяют этим условиям связи, если существует окрестность точки Мо, для которой значение этой функции в точке Мо является наибольшим (наименьшим) среди всех точек координаты которых удовлетворяют эти условиям связи.
Первый способ решения задачи условного экстремума:
Основная его идея – переход от задачи условного экстремума к задаче безусловного экстремума.
Пусть у функции F1, F2, …Fm дифференцируема в окрестности точки Mо и непрерывны в окрестности точки Мо. Пусть, кроме того, Якобиан неравен 0 в точке Мо. Тогда система (2) имеет непрерывное дифференцируемое решение . Подставим это решение в функцию 2: z=
|
Метод множителей Лагранжа.
Метод неопределенных множителей Лагранжа. Если система функций уравнений (2) неразрешима, либо ее решение затруднительно для вас, используют более универсальный способ – метод неопределенных множителей Лагранжа. Идея та же – переход от условного экстремума к безусловному.
L=f+l1F1+l2F2+…+lmFm (4)
Функция Лагранжа.
Теперь находим экстремум этой функции. Здесь l1, l2,…ln –множители Лагранжа.
Предположим, что функция дифференцируема
L(u1,u2,…um,x1,x2,…,xn,l1,l2,…ln)
Необходимые условия экстремума:
Мо(
lо(
Для полученных точек проверяем достаточное условие экстремума.
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!