Вероятность. Информация. Классификация.

Рекомендовано Ученым советом Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 230100 «Информатика и вычислительная техника» и 230400 «Информационные системы и технологии»

Нижний Новгород

УДК 005

Рецензент:

Доцент кафедры теоретической механики

Нижегородского государственного университета

им. Н.И. Лобачевского, кандидат физико-математических наук,

доцент А.Ф. Ляхов

 

 

Д.В. Ломакин, Л.С. Ломакина, А.С. Пожидаева

Вероятность. Информация. Классификация: учеб. пособие /

Д.В. Ломакин, Л.С. Ломакина, А.С. Пожидаева

Нижегор. гос. техн. ун–т им. Р.Е. Алексеева. – Н. Новгород, 2014. – 128с.

 

Рассматриваются базовые понятия теории вероятностей, теории информации и использование вероятностных и информационных методов в задачах диагностики сложных систем и в задачах обработки многомерных данных на примере классификации состояний биоценоза.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям: 230100 «Информатика и вычислительная техника» и 230400 «Информационные системы и технологии»

 

Рис. 42. Табл. 6. Библиогр.: 10 назв.

 

 

УДК 005

	© Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, 2013 © Д.В. Ломакин, Л.С. Ломакина, А.С. Пожидаева 2013

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время широко используется системный подход к решению задач анализа и синтеза объектов и процессов различной физической природы. Объект описывается как система, т. е., как структурированный состав, при этом свойства объекта определяются свойствами построенной системы, которая выполняет функцию модели объекта при решении поставленной задачи. Исследование свойств модели, моделирование свойств с использованием современных информационных технологий, и синтез на основе результатов моделирования новых объектов, процессов и концепций является основной частью научной и прикладной деятельности человека.

Описать состояние объекта как некоторой целостности минимальным количеством переменных (параметров, свойств) на ранних стадиях его изучения, как правило, не представляется возможным, не всегда удается даже определить их возможное количество. Поэтому на первом этапе возникает проблема с выделением наиболее информативной совокупности переменных, на основании которой можно было бы решить поставленную задачу, которая описывается заданной целевой функцией.

Кроме наблюдаемых переменных существуют еще скрытые переменные (компоненты), которые отражают структурные свойства объекта, законы, определяющие форму организации объекта. Совокупность значений наблюдаемых переменных называется многомерными данными в пространстве переменных.

К настоящему времени сформировалось несколько методов обработки многомерных данных, каждый из которых решает частную задачу. В настоящем пособии приведен обзор методов и подробно рассматривается метод классификации на примере анализа состояний биоценоза.

Для решения задач, связанных с обработкой многомерных данных, требуется соответствующий инструментарий, функции которого могут выполнять методы теории вероятностей, теории информации и математической статистики. Поэтому в пособии подробно описан их понятийный аппарат и способы решения конкретных задач.

ВЕРОЯТНОСТЬ

Основные понятия

 

Каждая наука начинается с определения объекта и предмета исследования, построения модели объекта, системы аксиом и с формирования основных понятий, на которых она базируется [1,3,4,5,7]. Поскольку определить понятие – это значит свести его к другим, более известным понятиям, то, очевидно, процесс должен где-то закончиться. Поэтому всегда существуют первичные понятия, которые строго не определяются, а только поясняются. Одним из таких понятий является понятие события.

В теории вероятностей объект исследования - это случайные явления различной физической природы.

Предметом теории вероятностей является математический анализ случайных явлений, выявление закономерностей в самих случайных явлениях независимо от их конкретной природы.

Событие – это любой факт, который может произойти при заданном комплексе условий .

Достоверное событие – это событие, которое всегда происходит при заданном комплексе условий .

Невозможное событие - это событие, которое никогда не происходит при заданном комплексе условий .

Случайное событие – это событие, которое может произойти, а может и не произойти при заданном комплексе условий .

Следует отметить, что достоверное, невозможное и случайное события остаются таковыми только при заданном комплексе условий .

Комплекс условий – это совокупность контролируемых физических величин или параметров, которые описывают эксперимент, испытание, опыт и т.д. Задать комплекс условий – это значит задать значения указанных физических величин или параметров.

Эмпирическим основанием для построения теории вероятностей послужила устойчивость относительной частоты появления события. Если при n испытаниях событие появилось раз, то его относительная частота появления равна отношению . Это свойство относительной частоты выражено в (одной из основных) аксиоме Колмогорова, согласно которой

Вероятность – это число , которое поставлено в соответствие данному событию. Значение вероятности иногда называют вероятностной мерой или весом события. Вероятность можно интерпретировать как степень возможности появления события.

Модель, лежащая в основе теории вероятностей, - это пространство элементарных событий, которое по определению представляет собой полную группу несовместных событий (исходов данного опыта, эксперимента) с заданной вероятностной мерой (законом распределения вероятностей).

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает возможность наступления другого.

События образуют полную группу событий, если , где – вероятность і – го события, т.е. вероятность появления события, которое не принадлежит данной группе, равна нулю.

Математическая модель события (в отличие от приведенного выше пояснения физического смысла события) – это любое подмножество в пространстве элементарных событий, чаще всего объединенных в подмножество по тому или иному свойству, признаку.

В теории вероятностей не исследуются причины, по которым события появляются с той или иной вероятностью. Основной ее задачей является разработка методов вычисления вероятностей, если известны вероятности элементарных событий или вероятности некоторых исходных событий.

Можно выделить четыре этапа вычисления вероятности события:

· построение пространства элементарных событий, которое определяется комплексом условий в данной задаче;

· выделение подмножества, т.е. события, вероятность которого необходимо вычислить по условию задачи, и событий, которые участвуют в решении задачи;

· вычисление вероятностей элементарных событий, которые входят в выделенное подмножество;

· вычисление вероятности выделенного события как суммы вероятностей всех образующих его элементарных событий.

Указанные этапы желательно представлять при решении любой задачи, но это не значит, что нужно скрупулезно следовать им.

Разработанные в теории вероятностей методы (теоремы) позволяют найти более короткие способы вычисления вероятностей по сравнению с указанным общим методом