Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-10-11 | 460 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Вид любого закона распределения зависит только от комплекса условий D, изменение которого, вызванное изменением значения некоторого параметра , может привести к изменению вида закона распределения . В этом случае параметр можно рассматривать как параметр закона распределения случайной величины . Необходимо получить оценку значения параметра при условии, что тип закона распределения известен, но при этом не известно значение его параметра. Оценка параметра производится на основе выборки , которая представляет собой последовательность из результатов испытаний при неизвестном, но одном и том же значении параметра . В качестве оценки выбирается такое значение параметра, которое чаще всего появляется при полученной в результате опыта выборке. Это значение называется оценкой по максимуму апостериорной (послеопытной) вероятности и вычисляется как . К сожалению, на практике возникают проблемы с определением вида функции и поэтому чаще всего пользуются правдоподобной оценкой, которая строится следующим образом. Параметр и выборку можно рассматривать как две зависимые случайные величины с двухмерным законом распределения , причем принадлежит выборочному пространству, а пространству параметров. По формуле умножения вероятностей имеем: . Отсюда следует, что , где - априорный (доопытный) закон распределения параметра .
Если параметр подчиняется равномерному закону распределения, то const на пространстве параметров и функции и достигают своего максимального значения при одном и том же значении параметра . В этом случае функция называется функцией правдоподобия и обозначается как , а значение параметра , которое доставляет максимум функции правдоподобия , называется правдоподобной оценкой. Следует напомнить, что выборка постоянна в процессе вычисления оценки параметра.
|
Пример. Вычислить оценки максимального правдоподобия для дисперсии и математического ожидания гауссова закона распределения .
Решение. Поскольку элементы выборки считаем независимыми, то многомерный закон распределения равен произведению одномерных: . Это выражение является в то же время функцией правдоподобия , если ее аргументами считать и , при постоянном значении выборки . Функции и достигают своего максимального значения при одних и тех же значениях аргументов, поскольку логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому, с целью упрощения вычисления оценок, целесообразнее использовать функцию
.
Чтобы найти максимум, берем производные от ln по и и приравниваем их к нулю:
= 0
= 0
После упрощения получим систему уравнений:
Решая эту систему уравнений, получим
,
где - выборочное среднее, - выборочная дисперсия.
Метод моментов
Все параметры закона распределения можно разделить на две группы: моменты и все остальные. Считаем, что моменты можно оценить экспериментально по выборке . Такие оценки называются выборочными. Тогда оценку параметра можно получить как функцию выборочного момента, например . Для этого достаточно теоретический момент приравнять эмпирическому моменту того же порядка, в результате чего получится уравнение, которое устанавливает связь между параметром и выборочным моментом. Если неизвестным является один параметр, то достаточно одного уравнения. В противном случае приходится решать систему уравнений, в которых участвуют разные моменты. Выбор моментов осуществляется экспериментально.
Пример. Вычислить точечные оценки неизвестных параметров и равномерного распределения, плотность которого
Решение. Поскольку неизвестных параметров два, то необходимо иметь два линейно независимых уравнения. Выражения для выбранных теоретических моментов дисперсии и математического ожидания имеют вид или . Решая систему уравнений, получим Подставляя вместо и их оценки, получим оценки параметров: и .
|
Выборочные оценки . Следует отметить, что оценки, полученные методом моментов, не всегда являются оптимальными.
Выражение для дисперсии можно получить следующим образом. Если случайную величину умножить на некоторый масштабный коэффициент , то дисперсия изменится в раз. Дисперсия равномерного на отрезке закона распределения равна . Поскольку дисперсия не зависит от математического ожидания, то остается зависимость только от длины интервала , которая является масштабным коэффициентом по отношению к случайной величине, определенной на единичном отрезке . Поэтому дисперсия .
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!