Некоторые трудности оперирования математическим материалом

В школьном обучении большое место занимает математика, при построении которой как учебного предмета участвуют педагогическая психология и дидактика. Рассмотрение практических результатов усвоения этого предмета с интересующей нас точки зрения может составить тему для широких и многоплановых исследований, проведение которых — дело будущего².

157

Мы полагаем, что в данной работе это целесообразно сделать на примере формирования у детей одного, но важного математического понятия — понятия числа, чему специально посвящен отдельный параграф (см. ниже). Пока же приведем лишь некоторые факты, характеризующие особенности математических обобщений у школьников.

Известно, что для учащихся разных классов особую трудность представляет решение задач. Обучение приемам анализа их текстов, выбора действий и способам вычислений в младших классах, например, занимает почти половину времени, отведенного на математику. При этом в учебниках имеется сравнительно небольшое количество типов задач, которые широко варьируются по внешним особенностям сюжетов, по разряду чисел, по частным особенностям связи величин и т. д. Главная цель работы учителя состоит в том, чтобы при систематическом решении больших серий задач определенного типа привить детям умение по ряду признаков опознавать этот тип с целью применения ранее усвоенного приема нахождения результата. Происходит классификация типов условий и применяемых к ним приемов решения. На ее основе какая-либо новая задача прежде всего опознается, а затем решается. Если же опознания не происходит (задача неизвестного типа), то и решения нет, вернее, серия таких задач, решенных с помощью учителя, приводит к понятию нового типа задачи. М. В. Потоцкий эту школьную ситуацию характеризует так: «Мы слишком часто учим классифицировать задачи, вместо того, чтобы учить сразу их решать. Кому незнакомо характерное для многих учащихся заявление, которое они делают, встречаясь с новой задачей: «Таких задач мы не решали». Как будто им надо уметь решать только уже когда-то решенные задачи!» [257, стр. 142].

У многих школьников слабо развита способность к анализу таких задач, которые еще не встречались в их учебном опыте, но для решения которых у них есть все

158

необходимые знания¹. Да и этот прошлый опыт, накопленные умения актуализируются лишь в таких ситуациях, которые непосредственно опознаются как знакомые. В исследовании В. Л. Ярощук специально изучались особенности мыслительной деятельности учащихся при решении типовых арифметических задач [364]. В нем есть весьма характерные количественные данные. Так, 20 четвероклассникам было предложено по 10 задач, т. е. им требовалось дать всего 200 решений. Результаты были такими. В 124 случаях задачи были подведены под тип (т. е. опознаны как ранее решаемые определенным приемом) и правильно решены. В 16 случаях при опознании типа задач они все же не были решены. В 5 случаях задачи были решены без опознания их типа. И в остальных 55 случаях отсутствие подведения под тип сочеталось с отсутствием решения. Таким образом, здесь наметилась явная связь решения задач с предварительным опознанием их типа и, наоборот, отсутствие подведения под тип лишь в 5 случаях из 60 сопровождалось решением задач. Процент, как видим, невелик (около 8,5%).

В том же исследовании сопоставлялось решение сюжетных и числовых задач (сравнивались задачи одного вида, требующие одного и того же решения, например, «304 тетради надо распределить между двумя классами так, чтобы один класс получил на 16 тетрадей больше, чем другой», и «299 разделить на два числа так, чтобы второе было больше первого на 19»). Из 100 сюжетных задач под тип была подведена 81 задача, а решено — 73. Из 100 числовых соответственно 59 и 56. Поскольку каждый испытуемый решал задачи обоих видов, то, следовательно, часть школьников (22 человека) легче подводила под тип сюжетные задачи, причем 17 человек, решив сюжетную задачу, не смогли

159

решить аналогичной числовой¹. В работе имеются материалы, говорящие о том, что меньшее количество случаев решения числовых задач связано с большими трудностями их подведения под тип, чем сюжетных. В. Л. Ярощук приводит также данные, показывающие, что при сюжетной задаче дети так или иначе представляют себе конкретные предметы, о которых там идет речь, а это облегчает им выполнение операции подведения под тип. Некоторые испытуемые смогли это сделать, как только самостоятельно или е помощью экспериментатора конкретизировали отвлеченные числа, связывая их с теми или иными предметами.

Количественные показатели, приведенные в этой работе, конечно, связаны с конкретными условиями обучения, влияющими на подготовку испытуемых. Видимо, у других групп школьников, в других классах эти показатели будут меняться. Однако, на наш взгляд, здесь все же выражена определенная тенденция, которая прямо или косвенно подтверждается другими исследованиями и наблюдениями. Так, A. B. Скрипченко, изучавший эффективность обучения младших школьников решению задач, отмечает, что если задача «не подходит ни к одному из типов задач, известных учащимся, они оказываются не в состоянии решить ее. Следовательно, главным здесь является запоминание и воспроизведение способа решения, а не самостоятельное нахождение пути решения новой задачи» [293, стр. 85]. Интересные мнения учителей приводит А. Я. Хинчин в одной из своих статей конца 30-х годов. Он пишет: «Как-то мне пришлось узнать у ряда хороших учителей пятых классов о том, какой примерно процент учащихся действительно научается решать арифметические задачи, не являющиеся простыми вычислительными примерами, т. е. такие, где способ решения, как бы прост он ни был, должен быть найден самим учащимся... Добиться, чтобы ученик самостоятельно

160

нашел решение задачи нового, хотя бы и очень простого типа, — это, по единодушному мнению учителей, есть дело, которое удается только в самых исключительных случаях» [325, стр. 161—162].

Таким образом, школьники, особенно младшие, вполне успешно решают в основном лишь задачи известного им типа, предварительное опознание которого является главным условием воспроизведения ранее усвоенного конкретного способа решения. При всей сложности этой деятельности самой по себе она не выходит за пределы классифицирующего, эмпирического мышления.

Успешность решения зависит также от меры конкретизации условий задачи, от возможности их наглядного выражения и представления. Так, H. A. Менчинская указывает, что умение наглядно представить содержание задачи играет решающую роль при установлении нужных соотношений. «Каждому учителю известно, что в тех случаях, когда ученик не может решить задачи, достаточно бывает изменить ее сюжет, сделав его более близким опыту ребенка, как успех решения уже обеспечен» [207, стр. 358].

В соответствии с таким «естественным опытом» учителей и с традиционным принципом наглядности многие методические руководства рекомендуют иллюстрировать тексты задач рисунками, изображающими те или иные предметы, о которых говорится в задачах (см., например, рисунки, рекомендуемые в книге М. М. Топор [307]).

Конечно, рисунки детям необходимы, но вопрос в том, что и как на них изображать, что и как в них выделять и оттенять. Поскольку объектом действий детей при решении задач выступают связи, отношения величин, то, очевидно, в первую очередь должны выделяться и в символическом виде (графически, буквенными знаками и т. д.) изображаться именно эти отношения. H. A. Менчинская обращает внимание на то, что наряду с приемом конкретизации в школе должен применяться и прием абстрагирования, когда опускаются сюжетные стороны задачи и обнажаются

161

математические отношения¹. «На эту сторону переосмысливания задачи, — пишет H. A. Менчинская, — до сих пор обращалось очень мало внимания в методических руководствах» [207, стр. 359].

И, конечно, это не случайность. Твердо следуя принципу «опоры на представления», методисты в основном применяют «прием конкретизации», акцентируя внимание детей на конкретных особенностях условий задачи. Как показала М. Э. Боцманова, специально проанализировавшая все виды наглядности, применяющиеся при решении арифметических задач, большая ее часть носит чисто иллюстративный, внешний характер, уточняющий представления детей о рассматриваемых в тексте предметах [29]. Вполне естественно, что при систематическом и многолетнем использовании такой наглядности дети, столкнувшись с «трудной задачей», фактически требуют приближения ее сюжета и предметов к своему личному опыту, это помогает им представлять содержание задачи.

Своевременный и правильный переход детей от опоры на натуральную наглядность к умению ориентироваться в отношениях самих величин и чисел (в «абстрактных отношениях») является важным условием вхождения в математику. Однако на практике детей слишком долго держат на уровне представлений о реальных окружающих предметах и их совокупностях, что тормозит формирование собственно математических понятий. Эта особенность обычного преподавания, а также взгляд на его подлинные задачи отчетливо выражены в следующих соображениях Ж. Дьедонне: «Мы склонны в наши дни, в частности среди преподавателей... ухищряться маскировать или уменьшать возможно дольше абстрактный характер математики. Это,

162

на мой взгляд, большое заблуждение. Конечно, речь идет не о том, чтобы с самого начала поставить детей перед лицом очень абстрактных понятий, но чтобы по мере развития их ума они этими понятиями овладевали и чтобы математика представилась бы в своем настоящем виде...» [258, стр. 41]. Ж. Дьедонне полагает, что необходимо откровенно показывать детям абстрактную суть математики, воспитывать у них способность к абстракции, к использованию ее теоретической силы.

Однако в практической работе гораздо чаще опираются на установившиеся психолого-дидактические принципы, согласно которым можно широко использовать «прием конкретизации» и игнорировать «прием абстрагирования» (если воспользоваться этими терминами)¹. В конечном счете это является следствием традиционного понимания условий обобщения.

Здесь требует рассмотрения весьма интересный вопрос, вставший в последнее время в психологии на основе систематического исследования особенностей умственной деятельности школьников, имеющих разные способности к усвоению математики. Опираясь на экспериментальные данные, В. А. Крутецкий выделил два принципиально разных пути обобщения математического материала, наблюдаемых у школьников: «Наряду с путем постепенного обобщения математического материала на основе варьирования некоторого многообразия частных случаев (путь большинства школьников) существует и другой путь, когда способные ученики, не сопоставляя «сходное», не сравнивая, без специальных упражнений и указаний учителя осуществляют самостоятельно обобщение математических объектов, отношений, действий «с места» на основании анализа лишь одного явления в ряду сходных явлений» [157, стр. 288].

163

Выделение и описание первого пути обобщения В. А. Крутецкий связывает с работами многих психологов: «В советской психологии установлено положение о том, что всякое, в том числе и математическое, обобщение опирается на сопоставление частных случаев и постепенное выделение общего, причем должна быть обеспечена широкая вариация несущественных признаков при инвариантности существенных» [157, стр. 287]. При этом вполне справедливо приводятся основные положения об условиях такого обобщения, наиболее четко сформулированные в работах группы наших психологов (H. A. Менчинской, Д. Н. Богоявленского, E. H. Кабановой-Меллер, З. И. Калмыковой, В. И. Зыковой и др.)¹.

Действительно, такая характеристика необходимых условий всякого обобщения широко представлена в педагогической психологии (это обстоятельство подробно изложено нами в главе I). Правда, как схема такого обобщения, так и ее абсолютизация, перенос на все случаи образования обобщений свои ближайшие истоки имеют в эмпирической ассоциативной психологии, которая сама опиралась на традиционную формальную логику; на эмпирико-сенсуалистическую теорию обобщения (эти обстоятельства рассмотрены нами во II—III главах). В предыдущем изложении проблемы мы также установили, что эта схема объясняет образование лишь эмпирических обобщений и понятий, но ее нельзя абсолютизировать, нельзя относить ко всякому обобщению, особенно к теоретическому ².

164

В настоящее время уже имеются экспериментальные данные для характеристики разных способов обобщения¹. Соотнося свои материалы с известными положениями об обобщении, В. А. Крутецкий пишет: «Все эти положения совершенно правильны. Подтвердились они и в нашей работе на средних и неспособных учащихся, но их, по-видимому, нельзя отнести ко всем учащимся и рассматривать как необходимое условие всякого обобщения в математике»². И далее: «Путь постепенного обобщения не является единственным путем, ведущим к усвоению знаний по математике...» [157, стр. 288].

Таким образом, эмпирический путь обобщения характерен для мыслительной деятельности средних по способностям и относительно неспособных к математике детей, составляющих большинство учащихся. Конкретные особенности мышления этих учащихся, обнаруживающиеся при обобщении математического материала, подробно описаны в книге В. А. Крутецкого [157, стр. 260—291]. Мы выделим лишь некоторые из них.

165

Кратко опишем методику исследования В. А. Крутецкого. Путем специальных проверок (наблюдения на занятиях, оценка результатов особых контрольных работ, учет успеваемости и т. д.) были выделены группы учащихся VI—VII классов, имеющих разные способности к усвоению школьной математики. В опытах, направленных на выявление особенностей обобщения, участвовали 96 человек (по V, VI, VII и IX сериям). Из них 4 человека — очень способные (ОСП), 33 — способные (СП), 37 — средние (СР) и 22 — относительно неспособные (НСП). Каждый испытуемый в индивидуальном порядке решал систему заданий, разбитых по определенным сериям (наряду со способностью к обобщению в других сериях изучалась также способность к свертыванию рассуждений, гибкость мысли и т. д.).

Так, V серия была рассчитана на учащихся, еще не знакомых с формулами сокращенного умножения. Вначале с помощью экспериментатора они знакомились с одной такой формулой и на простейших примерах усваивали ее математический смысл. Затем им предлагали формулу, наиболее отдаленную от исходной (см. ниже задание № 8). Определялось, узнает ли испытуемый в этом выражении квадрат суммы? Если узнавания не происходило, то последовательно вводились задания № 1, 2, 3 и т. д., причем после каждого из них вновь предлагалось задание № 8¹. Благодаря этому можно было узнать, после какого задания серии решалось наиболее трудное из них. Все задания нарастающей сложности были такими:

1. (a + b)² =

2. (1+ 1/2 a³b²)² =

166

3. (—5x + 0,6xy²)² =

4. (3x — 6y)² =

5. (m + x + b)² =

6. (4x + y³ — a)² =

7. 51² =

8. (C + D + E)(E + C + D) =

В этой серии изучалось подведение объектов под только что сформировавшееся в своей основе понятие, перенос сложившегося способа в сходные условия. О степени развития способности к обобщению можно судить по тому, насколько учащийся видит общее в разных задачах и переходит от простых заданий к сложным.

Опыты VI серии (6 арифметических задач и 1 геометрический текст) требовали от испытуемых умения объединять задачи внешне непохожие (но по существу однотипные) и отдифференцировать от них задачи похожие (но другого типа). Здесь требовалось провести самостоятельное обобщение нескольких явлений, сформировать понятие о типе задач (тексты задач мы не приводим, см. [157, стр. 138—140]).

Опыты VII серии включали решение задач с постепенной трансформацией ее данных — от конкретных (числовых) до абстрактных (буквенных). Сперва предлагалось решить задачу только с буквенными данными. Если испытуемый с нею не справлялся, то давалась задача, в которой часть данных была конкретно числовая, и т. д. [157, стр. 141—143]. При этом выяснялось, решает ли школьник задачу сразу в абстрактном плане или для этого нужен постепенный переход.

В IX серии требовалось провести систему однотипных, но усложняющихся доказательств (двух алгебраических, одного геометрического и одного логического). В этих случаях обнаруживалась способность к обобщению

167

метода рассуждения, к переносу усвоенного принципа на решение аналогичных, но все же более сложных задач [157, стр. 146—148].

Во всех этих опытах выявились некоторые характерные особенности мыслительной деятельности испытуемых разных групп. Так, неспособные учащиеся с большим трудом обобщали материал. Переходы с одной ступени на другую требовали помощи экспериментатора. Закрепление на каждой из них происходило при значительном количестве упражнений, в которых наблюдались пробы и ошибки. Например, требовалось от 8 до 12 упражнении типа х² х³ = х⁵, чтобы решить затем пример хⁿ х^m. Задачи одного типа должны были быть сходными, чтобы учащиеся объединяли их в один тип. С трудом они отвлекались от конкретных числовых выражений и лишь постепенно переходили к решению задач с буквенными данными. Им трудно было понять сущность геометрического доказательства, заключающуюся в том, что доказательство на одном частном случае, конкретной фигуре говорит о доказанности всех аналогичных случаев. Непривычное или необычное изображение фигуры дезорганизовало этих учащихся, которые теперь уже не могли доказать известной им теоремы.

Средние ученики подходили к обобщению путем решения примеров, в которых варьировались несущественные признаки. Так, они постепенно и последовательно подходили к решению задания № 8 в V серии. Они не всегда самостоятельно находили общетиповое сходство во внешне различных задачах, но с помощью экспериментатора делали это успешно. Для отнесения задач к одному типу им, как правило, недостаточно было лишь проанализировать их структуру. Только предварительно решив задачи, а затем сравнив ход решения, они относили их к одному типу. От простого доказательства к сложному они переходили через промежуточные ступени.

Способные учащиеся имели совсем иные особенности обобщения. Они свободно после первого знакомства или одного решения примера на «квадрат

168

суммы» решали все остальные примеры, начиная с наиболее удаленного, легко выделяя в них общий тип (V серия). В опытах VI серии они лишь на основании предварительного анализа структур задач быстро находили их типовое сходство. Так же легко они находили различие внешне сходных, но математически различных задач. Тип доказательства осознавался ими, как правило, после решения первой же задачи, т. е. «с места» (IX серия). Столкнувшись с конкретной задачей, они прежде всего стремились выискать ее «суть», выделить главные линии, отвлекаясь от частных ее особенностей, от ее конкретной формы. «Таким образом, решая первую конкретную задачу данного типа, они, если можно так выразиться, тем самым решали все задачи данного типа» [157, стр. 272]. Способ мыслительной деятельности способных учащихся качественно отличается от решения задач другими детьми. Способные учащиеся тщательно анализировали первую же конкретную задачу, стремясь выделить внутреннюю связь ее условий (это свойственно теоретическому обобщению). Характерно, что умение этих учащихся обобщать методы решения, принципы подхода к задачам сказывается на высокой эффективности решения нетиповых, нестандартных математических задач¹.

На основании экспериментальных материалов В. А. Крутецкий выделяет следующие четыре уровня обобщения:

1) учащиеся не могут обобщить материал по существенным признакам даже с помощью экспериментатора и после промежуточных однотипных тренировочных упражнений;

169

2) учащиеся могут обобщить материал по существенным признакам при указанных в п. 1 условиях, но допускают при этом отдельные ошибки;

3) учащиеся обобщают материал по существенным признакам самостоятельно, но после нескольких упражнений и с незначительными ошибками (безошибочное обобщение возникает при незначительных подсказках или наводящих вопросах);

4) учащиеся самостоятельно обобщают материал правильно и сразу, «с места» (без тренировки в решении однотипных задач).

По особенностям решения задач указанных выше серий испытуемые каждой группы были отнесены к тому или иному уровню обобщения. Сводные данные представлены в табл. 4 [157, стр. 282].

Таблица 4