История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-09-28 | 420 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Системы функций Чебышева
Рассмотрим линейное множество действительных функций, определенных на отрезке , и некоторую конечную или счетную систему линейно независимых функций из этого множества.
Линейную комбинацию
с действительными коэффициентами называют обобщенным многочленом по системе функций .
Определение. Совокупность функций называется системой Чебышева на отрезке , если любой обобщенный многочлен по этой системе, у которого хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, имеет на не более корней.
Пусть на отрезке в некоторых попарно различных точках известны значения функций .
Задача интерполирования функции состоит в том, чтобы найти значение , если известны узлы интерполирования и значения функции в этих узлах.
Решается задача интерполирования следующим образом: выбирается система функций , строится обобщенный многочлен , а коэффициенты задаются таким образом, чтобы в узлах интерполирования значения обобщенного многочлена совпадали со значениями данной функции :
.
Обобщенный многочлен, обладающий таким свойством, называется обобщенным интерполяционным многочленом. За приближенное значение принимают значение .
Выясним, когда задача интерполирования решается однозначно.
Теорема 1. Для того, чтобы для любой функции , определенной на отрезке , и любого набора узлов при существовал и был бы единственным обобщенный интерполяционный многочлен , необходимо и достаточно, чтобы система функций являлась системой Чебышева на .
На практике чаще всего используются следующие системы:
1)
2)
3) где – некоторая числовая последовательность попарно различных действительных чисел.
|
В случае 1 интерполирование называется алгебраическим, в случае 2 – тригонометрическим (применяется для приближения – периодических функций), в случае 3 – экспоненциальным.
Метод Лагранжа
Пусть - набор различных точек (узлов) на отрезке , в котором заданы значения достаточно гладкой функции так, что , . Требуется построить многочлен степени не выше , принимающий в точках значения , и оценить погрешность приближения функции этим многочленом на всем отрезке .
Введем в явном виде вспомогательные многочлены степени , удовлетворяющие условиям по формулам:
. (4.1)
Тогда интерполяционный многочлен можно задать по формуле Лагранжа:
, (4.2)
при этом удобно преобразовать к виду:
, (4.3)
где .
Разность называется погрешностью интерполирования, или остаточным членом интерполирования. В узлах интерполирования погрешность обращается в нуль, в остальных точках она отлична от нуля, но если – многочлен степени , то . Если функция имеет непрерывную - ю производную, то остаточный член можно представить в виде
, (4.4)
где – некоторая точка, лежащая на отрезке, содержащем узлы и точку .
Пример 1. Построить многочлен наименьшей степени, принимающий в данных точках следующие значения:
х | – 1 | |||
y | – 14 | – 5 |
По формуле (4.1) вычислим вспомогательные многочлены:
,
,
,
.
Затем по формуле (4.2) построим интерполяционный многочлен Лагранжа:
.
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!