Арифметические действия в двоичной системе счисления

 

1. Правила сложения в двоичной системе счисления

 

0₂ + 0₂ = 0₂

0₂ + 1₂ = 1₂

1₂ + 0₂ = 1₂

1₂ + 1₂ = 10₂

Например,

1101110₂ 10011101₂

+ 110010₂ +10101101₂

10100000₂ 101001010₂

 

2. Правила вычитания в двоичной системе счисления

 

0₂ - 0₂ = 0₂

1₂ - 0₂ = 1₂

1₂ – 1₂ = 0₂

10₂ - 1₂ = 1₂

Например,

-1001001₂ -101110001₂

- 100111₂ 11011110₂

100010₂ 10010011₂

 

3. Правила умножения в двоичной системе счисления

 

0₂ * 0₂ = 0₂

0₂ * 1₂ = 0₂

1₂ * 0₂ = 0₂

1₂ * 1₂ = 1₂

Например,

*101101₂ *100111₂

1011₂ 11001₂

101101 100111

+ 101101 +100111

101101 100111

111101111₂ 1111001111₂

 

4. Правила деления в двоичной системе счисления

 

При выполнении операции делания используются прав умножения и вычитания в двоичной системе счисления.

Например,

1101001111₂ 1011₂ 110111₂ 101₂

- 1011 1001101₂ -101 1011₂

10001 111

- 1011 -101

1101 101

- 1001 -101

1011 0

- 1011

Задание 11. Вычислите операцию сложения двоичных чисел и найдите правильный ответ.

1. 10011101₂ + 111111₂

а) 01100100₂

б) 01011100₂

в) 11001101₂

г) 11011100₂

д) 10101100₂

2. 110001101₂ + 1111111₂

а) 1110011000₂

б) 1111011000₂

в) 1100011000₂

г) 1110011100₂

д) 1100011001₂

3. 111010011₂ + 111111₂

а) 0100010010₂

б) 1101010010₂

в) 1000001100₂

г) 1100010011₂

д) 1010010010₂

4. 100010101₂ + 1111111₂

а) 100010100₂

б) 110010100₂

в) 110011100₂

г) 110010000₂

д) 101010100₂

5. 10111001101₂ + 10111111₂

а) 10111101111₂

б) 10110101101₂

в) 10110001001₂

г) 10011001101

д) 11010001100₂

Задание 12. Выполните операцию вычитания двоичных чисел и определите правильный ответ.

1. 110010100₂ - 1111111₂

а) 100010001₂

б) 101010101₂

в) 100010101₂

г) 110010101₂

д) 100010111₂

2. 11010001100₂ - 10111111₂

а) 11110001101₂

б) 10110001101₂

в) 10110001001₂

г) 10111001101₂

д) 10011001101₂

3. 1110011000₂ - 1111111₂

а) 1100011001₂

б) 100001101₂

в) 1101011001₂

г) 1001001001₂

д) 1000111001

4. 1000010010₂ - 111111₂

а) 111001011₂

б) 110101101₂

в) 101010011₂

г) 011010011₂

д) 111010011₂

5. 11011100₂ - 111111₂

а) 01011110₂

б) 10011101₂

в) 10111011₂

г) 10001101₂

д) 10110110₂

 

Арифметические действия в шестнадцатеричной системе счисления

 

При выполнении арифметических операций над числами в шестнадцатеричной системе используются следующие таблицы сложения и умножения.

 

Правила сложения в шестнадцатеричной системе счисления

 

Таблица 3 – Правила сложения умножения в шестнадцатеричной системе счисления

Рассмотрим каким образом составлялась данная таблица.

Например,

1. 8₁₆ + F₁₆ = 17₁₆

8₁₆ = 8₁₀

F₁₆ = 15₁₀

8₁₀ + 15₁₀ = 23₁₀

Полученный результат переводим в шестнадцатеричную систему счисления.

23 / 16 = 1 (остаток 7)

23₁₀ = 17₁₆

2. С₁₆ + Е₁₆ = 1А₁₆

С₁₆ = 12₁₀

Е₁₆ = 14₁₀

12₁₀ + 14₁₀ = 26₁₀

Полученный результат переводим в шестнадцатеричную систему счисления.

26 / 16 = 1 (остаток 10)

26₁₀ = 1А₁₆

Нижняя часть таблицы сложения чисел в шестнадцатеричной системе счисления является зеркальным отражением ее верхней части.

Примеры выполнения операции сложения:

635В₁₆ 916А₁₆

+72С₁₆ + А71D₁₆

6А87₁₆ 13887₁₆

 

Правила умножения в шестнадцатеричной системе счисления

 

Таблица 4 – Правила умножения в шестнадцатеричной системе счисления

Нижняя часть таблицы умножения шестнадцатеричных чисел также отражает верхнюю её часть.

Данная таблица получилась следующим образом.

Например,

1. 9₁₆ * 5₁₆ = 2D₁₆

9₁₆ = 9₁₀

5₁₆ = 5₁₀

9₁₀ * 510 = 45₁₀

Полученный результат переводим в шестнадцатеричную систему счисления.

45 / 16 = 2 (остаток 13)

45₁₀ = 2D₁₆

2. D₁₆ * 9₁₆ = 75₁₆

D₁₆ = 13₁₀

9₁₆ = 9₁₀

13₁₀ * 9₁₀ = 117₁₀

Полученный результат переводим в шестнадцатеричную систему счисления.

117 / 16 = 7 (остаток 5)

117₁₀ = 75₁₆

Примеры выполнения операции умножения:

52C1₁₆ 713B₁₆

* 23₁₆ * 3A₁₆

F843 46C4E

* A582 + 153B1

B5063₁₆ 19A75E₁₆

Задание 13. Определите правильный ответ, выполнив сложение шестнадцатеричных чисел.

1. 15А₁₆ + В1₁₆

а) 10B₁₆,

б) 10C₁₆,

в) 20B₁₆,

г) 20C₁₆,

д) 271_16.

2. 391₁₆ + 5F₁₆

а) 3E0₁₆,

б) 3F0₁₆,

в) 4E0₁₆,

г) 4F0₁₆,

д) 456₁₆.

3. 60D₁₆ + 1BC₁₆

а) 8C9₁₆,

б) 7C9₁₆,

в) 835₁₆,

г) 7B9₁₆,

д) 8B9₁₆.

4. Е26₁₆ + 71А₁₆

a) 640₁₆,

6) 630₁₆,

в) 2146₁₆,

г) 1630₁₆,

д) 1640₁₆.

5. 127С₁₆ + 293₁₆

a) 1575₁₆,

б) 140Е₁₆,

в) 140F₁₆,

г) 150Е₁₆,

д) 150F₁₆.

Задание 14. Определите правильный ответ, выполнив умножение шестнадцатеричных чисел.

1. 1В₁₆ * А₁₆

а) А9₁₆,

б) С9₁₆,

в) АЕ₁₆,

г) 119₁₆,

д) 10Е₁₆.

2. E3₁₆ * 9₁₆

а) 687₁₆,

б) 7ЕВ₁₆,

в) 7FB₁₆,

г) 7Е11₁₆,

д) 715В₁₆.

3. 5A1₁₆ * 8₁₆

а) 2808₁₆,

б) 4808,

в) 3208₁₆,

г) 2D08₁₆,

д) 3D08₁₆.

4. D82₁₆ * 31₁₆

а) 28642₁₆,

б) 285Е2₁₆,

в) 291Е2₁₆,

г) 29642₁₆,

д) 295Е2₁₆.

5. 31F₁₆ * 25₁₆

а) 627В₁₆,

б) 637В₁₆,

в) 727В₁₆,

г) 736В₁₆,

д) 737В₁₆.

 

Выполнение арифметических действий с кодами

 

Понятие кода

 

Все арифметические действия в машине сводятся к сложению двоичных кодов чисел. Для сокращения записи при выдаче информации из машины широко используются эквивалентные им шестнадцатеричные коды. Законы, по которым выполняются арифметические операции, не зависят от системы счисления, используемой для представления чисел, и являются общими для всех систем счисления.

Для представления положительных чисел используется прямой код. Прямой код числа совпадает с его модулем в цифровых разрядах, а знаковом разряде для положительных чисел – 0 и для отрицательных чисел – 1. Прямой код числа используется при умножении делении, хранении чисел в запоминающем устройстве и выполнении логических операций.

Для представления отрицательных чисел используется дополнительный код. Данный код используется при сложении положительных и отрицательных чисел. Дополнительные числа – это величина; которая будучи прибавлена к данному числу даст в сумме нули и образует перенос единицы из старших складываемых разрядов.

Дополнение образуется путем вычитания каждой цифры числа из наибольшего цифрового значения. применяемого в данной системе счисления (обратный ход числа), с последующим прибавлением единицы к младшему разряду числа. Наибольшая цифра в двоичной системе счисления равна 1, в десятичной системе – 9, в шестнадцатеричной системе – F.

Например,

1. Сформируйте дополнительный код для 7-разрядного двоичного числа 0000101. Код знака числа запишите слева.

-1. 1111111

0. 0000101 прямой код числа

+ 1. 1111010 обратный код числа

1

1. 1111011 дополнительный код числа

Знак «-» значащая цифра

В разрядной сетке код знака «-» распространяется до первой значащей ненулевой цифры числа.

2. Сформируйте дополнительный код числа 78АE₁₆.

- FFFF

78AE исходное число

+ 8751 обратный код числа

1

8752 дополнительный код числа

Проверка:

+ 78АЕ

8752