Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-09-28 | 308 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Канонические уравнения прямой в пространстве
Положение прямой в пространстве определено однозначно, если известна точка М 0(x 0; y 0; z 0), через которую она проходит, и ненулевой вектор = (т; п; р) параллельный этой прямой (рисунок 13). Вектор называется направляющим вектором прямой.
Составим уравнение прямой по этим данным. Выберем произвольную точку М (x; y; z), принадлежащую прямой, и рассмотрим вектор = (х – х 0; у – у 0; z – z 0). Так как векторы и параллельны, то их одноименные координаты пропорциональны. Из условия коллинеарности векторов получим соотношения
= = , (4.1)
которым удовлетворяют координаты любой точки прямой.
Уравнения (4.1) называются каноническими уравнениями прямой.
Рисунок 13 – Геометрическая иллюстрация к выводу уравнения (4.1)
Параметрические уравнения прямой в пространстве
В силу коллинеарности векторов = (т; п; р) и существует t R (t ≠0), такое, что = t или (х – х 0, у – у 0; z – z 0) = t (т, п; р). Тогда х – х 0 = tт, у – у 0 = tп, z – z 0 = tр, то есть
(4.2)
Уравнения (4.2) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две данные точки
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М 1(х 1; у 1; z 1), М 2(х 2; у 2; z 2), рассмотрим как частный случай уравнения (4.1), когда направляющим вектором служит вектор . Получим
. (4.3)
Уравнение (4.3) называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки.
Общие уравнения прямой в пространстве
Прямую в пространстве можно однозначно определить как линию пересечения двух плоскостей, нормальные векторы которых = (А 1; В 1; С 1) и = (А 2; В 2; С 2) непараллельны (рисунок 14)
(4.4)
Уравнения (4.4) называются общими уравнениями прямой в пространстве.
Рисунок 14 – Геометрическая иллюстрация к уравнению (4.4)
От общих уравнений прямой (4.4) можно перейти к каноническим уравнениям (4.1). Координаты некоторой точки М 0 можно найти, решив систему уравнений (4.4), придав одной из координат произвольное значение (например, z = 0).
Так как прямая перпендикулярна векторам = (А 1, В 1, С 1) и = (А 2, В 2, С 2), то направляющий вектор также перпендикулярен этим векторам. Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор
= × = .
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Угол между двумя прямыми
Углом между двумя прямыми в пространстве называют любой из двух углов, образованных прямыми, проведенными через произвольную точку пространства параллельно данным прямым.
Пусть заданы две прямые
и .
Один из двух углов между двумя прямыми, равен углу φ между их направляющими векторами = (т 1, п 1, р 1) и = (т 2, п 2, р 2), а второй угол равен π – φ. Угол φ вычисляется по формуле
cosφ = .
Условие перпендикулярности прямых
Прямые взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы ортогональны. Отсюда следует, что их скалярное произведение равно нулю:
т 1 т 2 + п 1 п 2 + р 1 р 2 = 0.
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!