Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Составим уравнение плоскости, которая проходит через три данные точки М ₁(х ₁; у ₁; z ₁), М ₂(х ₂; у ₂; z ₂), М ₃(х ₃; у ₃; z ₃). Возьмем на плоскости произвольную точку М (х; у; z) и составим векторы = (х – х ₁; у – у ₁; z – z ₁), = (х ₂ – х ₁; у ₂– у ₁; z ₂ – z ₁), = (х ₃ – х ₁; у ₃– у ₁; z ₃ – z ₁). Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно, они компланарны. Используя условие компланарности трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получим ∙ ∙ = 0, то есть

= 0. (3.5)

Уравнение (3.5) называется уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

 

Взаимное расположение плоскостей в пространстве

Угол между плоскостями

Пусть даны две плоскости

А ₁ х + В ₁ у + С ₁ z + D ₁ = 0,

А ₂ х + В ₂ у + С ₂ z + D ₂ = 0.

За угол между плоскостями принимаем угол φ между любыми двумя перпендикулярными к ним векторами (что дает два угла, острый и тупой, дополняющих друг друга до π). Так как нормальные векторы плоскостей = (А ₁, В ₁, С ₁) и = (А ₂, В ₂, С ₂) перпендикулярны им, то получаем

cosφ =

или

cosφ = .

 

Условие перпендикулярности двух плоскостей

Если две плоскости перпендикулярны, то нормальные векторы этих плоскостей также перпендикулярны и их скалярное произведение равно нулю: ∙ = 0. Значит, условием перпендикулярности двух плоскостей является

А ₁ А ₂ + В ₁ В ₂ + С ₁ С ₂ = 0.

 

Условие параллельности двух плоскостей

Если плоскости параллельны, то будут параллельны и их нормальные векторы. Тогда одноименные координаты нормальных векторов пропорциональны. Значит, условием параллельности плоскостей является

= = .

 

 

Расстояние от точки М ₀(x ₀, y ₀, z ₀) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0.

Расстоянием от точки М ₀(x ₀, y ₀, z ₀) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на плоскость, и находится по формуле

d = .

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р (– 1, 2, 7) перпендикулярно вектору = (3, – 1, 2).

Решение

Согласно уравнению (3.1) получаем

3(х + 1) – (у – 2) + 2(z – 7) = 0,

3 х – у + 2 z – 9 = 0.

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; – 3; – 7) параллельно плоскости 2 х – 6 у – 3 z + 5 = 0.

Решение

Вектор = (2; – 6; – 3) перпендикулярный к плоскости перпендикулярен и к параллельной плоскости. Значит, искомая плоскость проходит через точку М (2; – 3; – 7) перпендикулярно вектору = (2; – 6; – 3). Найдем уравнение плоскости по формуле (3.1):

2(х – 2) – 6(у + 3) – 3(z + 7) = 0,

2 х – 6 у – 3 z – 43 = 0.

 

Пример 3. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М ₁(2; 3; – 1) и М ₂(1; 5; 3)перпендикулярно к плоскости 3 х – у + 3 z + 15 = 0.

Решение

Вектор = (3; – 1; 3) перпендикулярный к заданной плоскости будет параллелен искомой плоскости. Таким образом, плоскость проходит через точки М ₁ и М ₂ параллельно вектору .

Пусть М (x; y; z) произвольная точка плоскости, тогда векторы = (х – 2; у – 3; z + 1), = (– 1; 2; 4), = (3; – 1; 3) компланарны, значит их смешанное произведение равно нулю:

= 0.

 

 

Вычислим определитель разложением по элементам первой строки:

(х – 2) – (у – 3) + (z + 1) = 0,

10(х – 2) – (– 15)(у – 3) + (– 5)(z + 1) = 0,

2(х – 2) + 3(у – 3) – (z + 1) = 0,

2х + 3 у – z – 14 = 0 – уравнение плоскости.

 

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскостям 2 х – у + 5 z + 3 = 0 и х + 3 у – z – 7 = 0.

Решение

Пусть – нормальный вектор искомой плоскости. По условию плоскость перпендикулярна данным плоскостям, значит и , где = (2; – 1; 5), = (1; 3; – 1). Значит, в качестве вектора можно взять векторное произведение векторов и , то есть = × .

= = – 14 + 7 + 7 .

Подставив координаты вектора в уравнение плоскости, проходящей через начало координат Ах + Ву + Сz = 0, получим

– 14 х + 7 у + 7 z = 0,

или

2 х – у – z = 0.

 

Вопросы для самопроверки

1 Записать общее уравнение плоскости.

2 Каков геометрический смысл коэффициентов при х, у, z в общем уравнении плоскости?

3 Записать уравнение плоскости, проходящей через точку М ₀(x ₀; y ₀; z ₀) перпендикулярно к вектору = (А; В; С).

4 Записать уравнение плоскости в отрезках по осям и указать геометрический смысл входящих в него параметров.

5 Записать уравнение плоскости, проходящей через точки М ₁(х ₁; у ₁; z ₁), М ₂(х ₂; у ₂; z ₂), М ₃(х ₃; у ₃; z ₃).

6 Записать формулу, по которой находят угол между двумя плоскостями.

7 Записать условия параллельности двух плоскостей.

8 Записать условие перпендикулярности двух плоскостей.

9 Записать формулу, по которой вычисляется расстояние от точки до плоскости.

 

Задачи для самостоятельного решения

1 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; – 1; 1) перпендикулярно вектору = (1; – 2; 3). (Ответ: х – 2 у + 3 z – 7 = 0)

2 Точка Р (1; – 2; – 2) является основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к плоскости. Составить уравнение этой плоскости. (Ответ: х – 2 у – 2 z – 9 = 0)

3 Даны две точки М ₁(2; – 1; 3) и М ₂(– 1; 2; 4). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М ₁ перпендикулярно вектору . (Ответ: 3 х – 3 у – z – 6 = 0)

4 Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки М ₁(3; – 1; 2), М ₂(4; – 1; – 1), М ₃(2; 0; 2). (Ответ: 3 х + 3 у + z – 8 = 0)

5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М ₁(3; – 1; 2) и М ₂(2; 1; 3) параллельно вектору = (3; – 1; 4). (Ответ: 9 х + 7 у – 5 z – 10 = 0)

6 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М ₁(2; 3; – 4) параллельно векторам = (3; 1; – 1) и = (1; – 2; 1). (Ответ: х + у + 7 z + 14 = 0)

7 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1; – 1; 1) перпендикулярно плоскостям 2 х – у + z – 1 = 0 и х + 2 у – z + 1 = 0. (Ответ: х – 3 у – 5 z + 1 = 0)

8 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М ₁(1; 0; 1) и М ₂(1; 2; – 3) перпендикулярно плоскости х – у + z – 1 = 0. (Ответ: х + 2 у + z – 2 = 0)

9 Найти угол между плоскостями 4 х – 5 у + 3 z – 1 = 0 и х – 4 у – z + 9 = 0. (Ответ: φ = arccos0,7)

10 Найти расстояние от точки М (2; – 1; – 1) до плоскости 16 х – 12 у + 15 z – 4 = 0. (Ответ: d = 1)

11 Найти точку пересечения трех плоскостей 5 х + 8 у – z – 7 = 0, х + 2 у + 3 z – 1 = 0, 2 х – 3 у + 2 z – 9 = 0. (Ответ: (3; – 1; 0))

12 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки М ₁(1; – 2; 6) и М ₂(5; – 4; 2) и отсекает равные отрезки на осях Ох и Оу. (Ответ: 4 х + 4 у + z – 2 = 0)

13 Найти расстояние между плоскостями х + 2 у – 2 z + 2 = 0 и 3 х + 6 у – 6 z – 4 = 0. (Ответ: d = )