Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
 2017-09-28 |
 526 |
из
5.00
|
Заказать работу |
|
|
|
|
3.1 Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Положение плоскости в пространстве вполне определяется точкой М 0(x 0; y 0; z 0) и вектором 
= (А; В; С) (А 2 + В 2 + С 2 ≠ 0) перпендикулярным этой плоскости. Ненулевой вектор = (А, В, С) перпендикулярный плоскости называется нормальным вектором плоскости.
Возьмем на плоскости произвольную точку М (x; y; z) и составим вектор 
= (х – х 0; у – у 0; z – z 0) (рисунок 11).
При любом положении точки М на плоскости векторы и 
взаимно перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, то есть ∙ = 0. Это уравнение является векторным уравнением искомой плоскости. Записав его в координатной форме, получим равенство
А (х – х 0) + В (у – у 0) + С(z – z 0) = 0, (3.1)
которое называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Рисунок 11 – Геометрическая иллюстрация к выводу уравнения (3.1)
3.2 Общее уравнение плоскости
Раскрыв в уравнении (3.1) скобки
Ах + Ву + Сz + (– Ах 0 – Ву 0 – Сz 0) = 0
и обозначив величину – Ах 0 – Ву 0 – Сz 0 через D, получим уравнение
Ах + Ву + Сz + D = 0, (3.2)
которое называется общим уравнением плоскости.
Рассмотрим частные случаи расположения плоскости.
1) Если D = 0, то уравнение (3.2) принимает вид Ах + Ву + Сz = 0. Этому уравнению удовлетворяет точка О (0; 0; 0). Следовательно, плоскость проходит через начало координат.
2) Если С = 0, то имеем уравнение Ах + Ву + D = 0. Нормальный вектор = (А, В, 0) перпендикулярен оси Оz. Следовательно, плоскость параллельна оси ОZ. Аналогично: если В = 0 – параллельна оси Оy, А = 0 – параллельна оси Ох.
3) Если С = D = 0, то плоскость проходит через О (0; 0; 0) и ее нормальный вектор перпендикулярен оси Оz. Значит, плоскость Ах + Ву + = 0 содержит ось ОZ. Аналогично: уравнениям Ах + Сz = 0 и Ву + Сz = 0 соответствуют плоскости, содержащие соответственно оси Оу и Ох.
|
|
4) Если А = В = 0, то уравнение (3.2) принимает вид Сz + D = 0, то есть z = – 
. Плоскость параллельна плоскости Оxy. Аналогично: уравнениям Ах + D = 0 и Ву + D = 0 отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Оyz и Оxz.
5) Если А = В = D = 0, то уравнение (3.2) примет вид Сz = 0, то есть z = 0. Это уравнение плоскости Оxy. Аналогично: х = 0 – уравнение плоскости Оyz; у = 0 – уравнение плоскости Оxz.
Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость общего положения (рисунок 12), то есть плоскость не проходит через начало координат, не параллельна ни одной из осей координат (А, В, С, D ≠ 0). Уравнение этой плоскости можно записать в виде
Ах + Ву + Сz + D = 0. (3.3)
Рисунок 12 – Геометрическая иллюстрация к выводу уравнения (3.4)
Так как точка М (а; 0; 0) лежит на плоскости, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3.3) Аа + D = 0, откуда А = – 
.
Аналогично: координаты точек N (0; b; 0) и Р (0; 0; с) должны удовлетворять уравнению (3.3), значит, Вb + D = 0 и Сс + D = 0, откуда В = – 
, С = – 
.
Подставив найденные значения А, В, С в уравнение плоскости (3.3), получим
– х – у – z + D = 0.
Сократив это равенство на – D (D ≠ 0) и перенеся свободный член вправо, получим
+ 
+ 
= 1. (3.4)
Уравнение (3.4) называется уравнением плоскости в отрезках; а, b, с – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.
|
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!