Расчет по прочности нормальных к продольной оси сечений по условию равновесия усилий

4.1.10. Предельные усилия в сечении, нормальном к продольной оси элемента, следует определять, исходя из следующих предпосылок:

- сопротивление бетона растяжению принимается равным нулю;

- сопротивление бетона сжатию в предельном состоянии представляется напряжениями равномерно распределенными по высоте сжатой зоны и равными R_b;

- для определения деформаций используется гипотеза плоских сечений;

- растягивающие напряжения в стальной арматуре принимают не более расчетного сопротивления растяжению R_s, сжимающие напряжения - не более расчетного сопротивления сжатию R_sc;

- растягивающие напряжения в арматуре из ФАП принимают не более расчетного сопротивления растяжению R_fu;

- внешняя арматура и бетон сохраняют полное сцепление и работают совместно до наступления предельного состояния;

- деформация сдвига в клеевом слое не учитывается.

4.1.11. При подборе площади сечения внешней арматуры из ФАП нельзя допускать превышения граничных процентов армирования, установленных в СП 52-101-2003 [4]. Расчет по прочности нормальных сечений следует производить в зависимости от соотношения между значением относительной высоты сжатой зоны бетона x = x / h ₀, определяемым из соответствующих условий равновесия, и значением граничной относительной высоты сжатой зоны x _R, при котором предельное состояние элемента наступает одновременно с достижением в растянутой стальной арматуре напряжения, равного расчетному сопротивлению R_s. При этом также нужно учитывать соотношение между значением относительной высоты сжатой зоны бетона x _f = x / h и значением граничной относительной высоты сжатой зоны x _Rf, при котором предельное состояние элемента наступает одновременно с достижением в растянутой арматуре из ФАП напряжения, равного её расчетному сопротивлению R_fu. ¹

_______________

¹ В процессе усиления на растянутую грань элемента добавляется дополнительный слой армирования из композиционных материалов. Координаты этого слоя арматуры по высоте для простоты расчета и ввиду его малой толщины (обычно порядка 1-2 мм) принимаются равными координатам крайнего растянутого волокна бетона.

 

4.1.12. Значение граничной высоты сжатой зоны x _R определяют по формуле {6.11 [4]}:

 

(4.12)

 

4.1.13. Значение x _Rf определяют по формуле:

 

(4.13)

 

e _{bu 1} принимается равным e _{b 0} для непродолжительного действия нагрузки и e _{b 2} для продолжительного, в соответствии с {п. 5.1.12 [4]};

R_fu принимается по разделу 4.1.7 настоящего Руководства;

w принимается равным w = 0,85 - 0,008 R_b

Для ФАП отношение R_fu / E_f, представляет собой предельную относительную деформацию при растяжении. В подавляющем большинстве случаев она находится в диапазоне (0,3 - 1%). Это больше, чем деформация текучести стали R_s / E_s (0,2%), и поэтому x _Rf будет меньше, чем x _R.

4.1.14. Расчет по прочности сечений изгибаемых элементов, усиленных ФАП, производят из общего условия:

 

M < M_ult (4.14)

 

4.1.15. Для сечения, симметричного относительно плоскости действия момента и дополнительном армировании композитными материалами, расположенном на грани элемента (рис. 4.1) расчетное условие прочности записывается в виде:

 

М < s _fS_f + R_sS_s + R_scS_sc (4.15)

 

4.1.16. Высоту сжатой зоны находят, используя уравнение равновесия:

 

(4.16)

 

4.1.17. Высота сжатой зоны x при разрушении усиленного сечения по арматуре и ФАП (x < x _Rf < x _R) определяется из выражения:

 

(4.17)

 

тогда значение M_ult может быть найдено следующим образом:

 

(4.18)

 

4.1.18. Высота сжатой зоны х при разрушении бетона сжатой зоны усиленного сечения и достижения в растянутой и сжатой стержневой арматуре напряжений, равных пределу текучести, определяется из выражения:

 

при x _Rf < x < x _R (4.19)

 

тогда предельный изгибающий момент равен:

 

(4.20)

 

4.1.19. В случае, если напряжения в растянутой стержневой арматуре и в ФАП не достигли предельных, а прочность бетона сжатой зоны исчерпана и напряжения в сжатой стержневой арматуре достигли предела текучести, высота сжатой зоны определяется из выражения:

 

при x _Rf < x _R < x (4.21)

 

 

Рис. 4.1. Расположение усилий в поперечном прямоугольном сечении усиленного элемента

 

тогда предельный изгибающий момент:

 

(4.22)

 

4.1.20. Напряжения в ФАП и стержневой арматуре могут быть найдены из выражений (4.23) и (4.24) соответственно:

 

(4.23)

 

(4.24)

 

где e _bi определяется из выражения (4.10).

 

4.1.21. При расчете рекомендуется высоту сжатой зоны находить итерационно. На первом этапе принимается высота сжатой зоны, полученная из выражения (4.17). Затем вычисляются напряжения в стержневой арматуре и ФАП по выражениям (4.23) и (4.24) и проверяется равновесие внутренних сил. Если оно не выполняется, то высота сжатой зоны должна быть скорректирована. Расчет повторяется заново до тех пор, пока равновесие внутренних сил не будет выполнено.

Такой порядок рекомендуется и в тех случаях, когда из первого этапа расчетов получается, что сечение переармировано (x > x _R). Введение в уравнение равновесия на втором этапе напряжения в композите, полученного по выражению (4.24), приведет к значительному уменьшению высоты сжатой зоны. На следующем этапе значение х следует принять как среднее арифметическое от первых двух и повторить расчет. Практика показывает, что уже на 4-й итерации можно добиться удовлетворительного результата (» 5%).

4.1.22. После подбора площади сечения арматуры ФАП необходимо проверить напряжения и деформации в ней, которые не должны превышать предельно допустимых величин R_fu или e _fu, определенных по п. 4.1.7. Это условие соблюдается, когда фактическая относительная высота сжатой зоны бетона x меньше граничной x _Rf, определенной из выражения (4.13).

4.1.23. По окончании расчетов усиленного нормального сечения необходимо провести проверку обеспечения несущей способности по наклонным сечениям.

Примеры расчета

Пример 1. Дано: сечение размерами b = 300 мм, h = 800 мм, а = 70 мм; растянутая арматура А400 (R_s =355 МПа); площадь её сечения A_s = 2945 мм² (6Æ25); бетон класса В25 (R_b = 14,5 МПа); изгибающий момент 650 кНм. Элемент конструкции находится во внутреннем помещении. Начальные деформации бетона не учитывать.

Требуется проверить прочность сечения и при необходимости запроектировать усиление из углепластика холодного отверждения со следующими характеристиками: нормативная прочность R_f = 1400 МПа, E_f = 120000 МПа, расчетная толщина монослоя t_f = 0,175 мм.

Расчет:

h ₀ = 800 - 70 = 730 мм

Проверку прочности производим согласно {п. 3.20 [7]}.

Определим значение х:

мм

По {табл. 3.2 [7]} находим x _R = 0,531

Так как

проверяем условие {(3.20) [7]}:

R_sA_s (h ₀ - 0,5 x) = 355 × 2945 × (730 - 0,5 × 240) = 636,8 × 10⁶ Нмм = 636,8 кНм < М = 650 кНм

т.е. прочность сечения не обеспечена.

Расчет усиления:

Для усиления на нижнюю растянутую поверхность балки наклеивается один слой углеродной ткани шириной 300 мм. Расчетный модуль упругости Е_f = Е_ft = 120000 МПа

Предельная деформация растяжения

Коэффициент надёжности по материалу для расчета по предельным состояниям первой группы (п. 3.9) g_f = 1,1

Коэффициент условий работы (табл. 3.1) С_Е = 0,9

Расчетная прочность по формуле (3.1) равна

Тогда расчетная деформация растяжения по формуле (3.2) равна

Расчетный модуль упругости E_f = E_ft = 120000 МПа.

Проверяем условие (4.1) для отслаивания:

nE_ftt_f = 1 × 120000 × 0,175 = 21000 < 180000

Так как k_m не должен превышать 0,9 принимаем k_m =0,9.

Поскольку начальные деформации бетона не учитываются, то

e _fu = k_m e _ft = 0,9 × 0,00957 = 0,00861

Из (4.4) s _fu = E_f e _fu = 120000 × 0,00861 = 1033 MПа

Расчётная прочность углеткани по формуле (4.5) равна R_fu = s _fu = 1033 МПа.

Определяем предельное значение относительной высоты сжатой зоны бетона для внешней арматуры

a = 0,85

w = a - 0,008 R_b = 0,85 - 0,008 × 14,5 = 0,734

В формулу для x _Rf (4.13) подставляем значение прочности R_fu

Площадь сечения внешней арматуры

A_f = n_fb_ft_f = 1 × 300 × 0,175 = 52,5 мм²

Определим значение х по выражению (4.17):

,

следовательно напряжение по внешней арматуре меньше расчетного. Проверяем напряжение по выражению (4.24)

МПа

Поскольку недоиспользование прочности внешней арматуры небольшое, принимаем s _f = 954 МПа.

Предельный изгибающий момент по (4.20):

Прочность сечения обеспечена.

Пример 2. Дано: сечение размерами b = 300 мм, h = 700 мм, а = 50 мм; а ' = 30 мм; растянутая и сжатая арматура А400 (R_s =355 МПа); площадь сечения А_s = 3054 мм² (3Æ36); = 942 мм² (3Æ20); бетон класса В30 (R_b = 17 МПа). Действующий изгибающий момент от эксплуатационной нагрузки М ₀ = 500 кНм.

Конструкция эксплуатируется в г. Москве на открытом воздухе. В связи с реконструкцией появляется кратковременная нагрузка, вызывающая дополнительный изгибающий момент 250 кНм и, таким образом, полная нагрузка составит 750 кНм.

Требуется проверить прочность сечения и при необходимости запроектировать усиление из углепластика горячего отверждения (ламината) со следующими характеристиками: нормативная прочность R_f = 3100 МПа, Е_f = 170000 МПа, толщина монослоя t_f = 1,4 мм.

Расчет:

h ₀ = 700 - 50 = 650 мм

Проверку прочности производим согласно п. 3.18 [7].

Определим значение х:

По {табл. 3.2 [7]} находим x _R =0,531

Так как , проверяем условие {(3.17) [7]}:

т.е. прочность сечения не обеспечена.

Расчет усиления:

Предполагаем, что на нижнюю растянутую поверхность балки наклеивается один слой ламината шириной 100 мм.

Определим значения деформаций крайнего растянутого волокна бетона от эксплуатационной нагрузки в соответствии с разделом 4.1.8:

Находим высоту сжатой зоны по формуле (4.7):

6,15 × 3054 × (650 - х) - 5,15 × 942 × (х - 30) - 0,5 × 300 × х ² = 0

отсюда х = 297 мм.

Момент инерции приведенного сечения по формуле (4.9):

Деформация крайнего сжатого волокна по формуле (4.8):

Деформация крайнего растянутого волокна по формуле (4.10):

При дальнейшем расчете величину деформаций ФАП следует уменьшать на значение e _bi.

Определим предельную деформацию растяжения ФАП:

Коэффициент надёжности по материалу для расчета по предельным состояниям первой группы (п. 3.9) g_f = 1,1.

Коэффициент условий работы (табл. 3.1) С_Е = 0,85.

Расчетная прочность (3.1)

Тогда расчетная деформация растяжения (3.2)

Расчетный модуль упругости E_f = Е_ft = 170000 МПа

Проверяем условие (4.1) для отслаивания:

nE_ft_f = 1 × 170000 × 1,4 = 238000 > 180000

Принимаем k_m = 0,447, тогда предельная расчетная деформация углепластика

e _fu £ k_m e _ft = 0,447 × 0,0141 = 0,0063

s _fu = E_ft e _fu = 170000 × 0,0063 = 1071 МПа

Граничное значение относительной высоты сжатой зоны бетона x _Rf усиленного сечения определяем по расчётной прочности углеродного ламината s _fu, в соответствии с разделом 4.1.7 настоящего Р.

R_fu = s _fu = 1071 МПа

a = 0,85

w = a - 0,008 R_b = 0,85 - 0,008 × 17 = 0,714

По выражению (4.13):

где e _bui = e _{b 0} = 0,002 - предельная относительная деформация бетона при непродолжительном действии нагрузки в соответствии с разделом {5.1.12 [4]}.

x_Rf = x _Rf × h = 0,339 × 700 = 237 мм

Площадь сечения внешней арматуры

A_f = n_fb_ft_f = 1 × 100 × 1,4 = 140 мм²

Определим значение х по выражению (4.17):

Проверяем относительную высоту сжатой зоны:

следовательно, сечение не переармировано.

,

т.е. напряжение по внешней арматуре при разрушении сечения больше расчетного, что недопустимо. Необходимо увеличить площадь углепластика.

Увеличение количества слоев ламината не приведёт к соответствующему увеличению усилия, развиваемого во внешней арматуре. Это связано с коэффициентом k_m, ограничивающем деформации композита для предотвращения отслаивания внешней арматуры. Поэтому необходимо увеличить ширину композита.

Увеличиваем ширину ламината до 200 мм.

Площадь сечения внешней арматуры

A_f = n_fb_ft_f = 1 × 200 × 1,4 = 280 мм²

Определим значение х по выражению (4.17):

Проверяем относительную высоту сжатой зоны:

следовательно, сечение не переармировано.

необходимо ещё более увеличить площадь углепластика.

Увеличиваем ширину ламината до 250 мм.

Площадь сечения внешней арматуры

A_f = n_fb_ft_f = 1 × 250 × 1,4 = 350 мм²

Определим значение х по выражению (4.17):

Проверяем относительную высоту сжатой зоны:

следовательно, сечение не переармировано.

необходимо проверить напряжение во внешней арматуре.

Определяем напряжение в ламинате по (4.24):

т.е. прочность внешней арматуры используется почти полностью.

Предельный изгибающий момент по выражению (4.20):

= 350 × 1071 × (700 - 0,5 × 221) +

+ 3054 × 355 × (650 - 0,5 × 221) + 942 × 355 × (0,5 × 221 - 30) = 833 кНм > 750 кНм

Прочность сечения обеспечена.