Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-09-30 | 412 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Сферически симметричная задача
Сначала рассмотрим для однородного уравнения
, (2)
задачу, обладающую центральной симметрией относительно некоторой точки М0. В качестве примера можно привести задачу о радиальных колебаниях газа. Итак, будем искать решения уравнения (2)
,
где r – расстояние между точками М и М 0. В этом случае уравнение (2) после записи его в сферической системе координат можно свести к одномерному уравнению для функции
(3)
Причем, если функция u (r, t) ограничена при , то функция при обращается в нуль. В результате задача Коши для уравнения (2) с начальными условиями
и (4)
сводится к задаче о колебаниях полуограниченной струны с закрепленным концом в точке :
(5)
Эта задача была нами решена в §4 гл. II, поэтому, не умаляя общности, мы можем записать общее решение уравнения (3) в более удобном для нас виде
,
где f 1 и f 2 – произвольные дважды дифференцируемые функции. Тогда для функции будем иметь
(6)
Слагаемые в правой части (6) представляют собой частные решения уравнения (2)
и
и являются сферическими волнами; есть расходящаяся сферическая волна, а – сходящаяся сферическая волна. В отличие от плоских волн, сферическая волна убывает обратно пропорционально расстоянию от центра.
Учитывая теперь нулевое граничное условие , получим
или
Тогда решение (6) примет вид
(7)
и при , воспользовавшись формулой Лагранжа, можем записать
(8)
Формула Пуассона
Теперь решим однородное волновое уравнение
(9)
с начальными условиями
(10)
Будем предполагать, что φ (x,y,z)непрерывна вместе со своими производными до третьего порядка, а ψ (x,y,z) – до второго порядка включительно во всем пространстве.
Покажем сначала, что интеграл
|
, (11)
взятый по поверхности сферы радиуса с центром в точке M (x,y,z), является решением волнового уравнения (9), причем функция w (ξ,η,ζ) является произвольной. Координаты сферы могут быть выражены по формулам
, ,
где α, β, γ – направляющие косинусы текущего радиуса сферы , которые, как известно, могут быть записаны в виде
, , ,
где угол θ меняется от 0 до π и угол от 0 до 2π. Когда точка (ξ,η,ζ) описывает сферу , точка (α, β, γ) описывает сферу S 1 единичного радиуса с центром в начале координат, а между соответствующими элементами площади dσ rи dσ 1 обеих сфер имеется соотношение
Тогда интеграл (11) приводится к виду
(12)
Отсюда легко заметить, что функция имеет непрерывные производные до k -го порядка, если функция w (ξ,η,ζ) непрерывна вместе со своими производными до k -го порядка.
Из формулы (12) находим
или, возвращаясь к первоначальной области интегрирования
(13)
Дифференцируя теперь выражение (12) по t, получим
(14)
Чтобы вычислить , перепишем последнее выражение в виде
и, применив формулу Остроградского, получим
где Dat – шар радиуса с центром в точке M (x,y,z). Обозначая в этой формуле определенный интеграл через I, мы можем переписать её в виде
Дифференцируя это выражение по t, получим
(15)
Теперь убедимся, что
(16)
Действительно, переходя в интеграле I к сферическим координатам с центом в точке M (x,y,z), имеем
Теперь дифференцируя это выражение по t, получим
Сравнивая (13), (15) и (16) убеждаемся, что функция , определяемая формулой (11), удовлетворяет волновому уравнению (9), какова бы ни была функция w (x,y,z), имеющая производные до второго порядка включительно.
Из формул (12) и (14) следует, что в этом виде функция u удовлетворяет начальным условиям
(17)
Тогда, если функция u есть решение волнового уравнения (9) с начальными условиями (17), то можно убедиться, что функция
будет также решением уравнения (9), удовлетворяющим начальным условиям
(18)
Взяв теперь в качестве функции w (x,y,z) в начальных условиях (17) функцию , а в начальных условиях (18) функцию и сложив построенные таким образом решения, мы получим решение уравнения (9), удовлетворяющее начальным условиям (10).
|
Таким образом, решение уравнения (9), удовлетворяющее начальным условиям (10), запишется в виде
(19)
Эта формула называется формулой Пуассона.
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!