Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-09-30 | 613 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим трехмерное неоднородное волновое уравнение
(28)
и будем искать его решение, удовлетворяющее нулевым начальным условиям
(29)
Это означает, что в исходном состоянии описываемый объект не был деформирован и покоился. В этом случае деформации этого объекта в последующие моменты времени будут определяться только внешней силой и механическими свойствами объекта.
Чтобы решить поставленную задачу нужно решить однородное уравнение
(30)
но с ненулевой начальной скоростью, равной внешней силе из уравнения (28) в некоторый момент времени τ: :
(31)
При этом τ становится параметром задачи. Иными словами воздействие внешней силы на объект заменяется на сообщение точкам объекта соответствующей скорости в некоторый
Теперь для решения задачи можно воспользоваться формулой (12) из §1, заменив в ней t на , тогда получим
? (32)
Теперь покажем, что функция , определенная формулой
,(33)
является решением неоднородного уравнения (28) при нулевых начальных условиях (29). Действительно, из формулы (33) находим
(34)
Дифференцируя теперь выражение (33) по времени, получим
, (35)
причем внеинтегральный член при равен нулю в силу первого начального условия (31), т.е.
(36)
Дифференцируя ещё раз по t, будем иметь
, (37)
причем здесь внеинтегральный член при в силу первого начального условия (31) равен , т.е.
(38)
Поскольку функция v удовлетворяет уравнению (30), то (38) можно переписать следующим образом
,
а в силу (33) входящий в это выражение интеграл есть Δ u. В итоге получим
,
т.е. функция u удовлетворяет исходному уравнению (28). При этом начальные условия (29) также выполнены в силу (33) и (36).
Подставив в формулу (34) вместо функции её выражение (32), получим
|
Затем, если введем вместо τ новую переменную интегрирования , то получим
Вводя новые координаты
И учитывая, что , получим
,
и выражение для окончательно запишется в виде
(39)
где Dat – шар радиуса at с центром в точке (x, y, z).
Выражение (39) называют запаздывающим потенциалом, так как при выполнения интегрирования функция g берется не в рассматриваемый момент времени t, а в момент, наступивший раньше на промежуток времени r/a, необходимый для того, чтобы возмущение, распространяясь со скоростью a от точки (ξ, η, ζ), дошло до точки (x, y, z).
Аналогичным образом мы можем получить решение для двухмерного волнового уравнения
(40)
с нулевыми начальными данными
(41)
Это решение имеет вид
(42)
где
Точечный источник
Предположим, что свободный член в уравнении (28) отличен от нуля только в небольшой сфере D с центром в начале координат. Тогда при стремлении радиуса этой сферы ε к нулю и при синхронном возрастании интенсивности внешней силы мы в пределе можем получить решение волнового уравнения для точечного источника, который начинает действовать с момента по заданной зависимости от времени f (x, y, z, t).
Положим для определенности, что внутри сферы
, (43)
считая по-прежнему
при
Обратимся теперь к формуле (39) и будем считать, что , при этом, очевидно, что достаточно произвести интегрирование по шару Dε. При ε → 0 величина r будет равна расстоянию от начала координат до точки (x, y, z), т.е. , и мы получим, учитывая (43), что
(44)
Ясно, что при , так как при область интегрирования в интеграле (39) не содержит внутри себя шара Dε при достаточно малых ε.
Отметим, что при любом выборе функции ω (t) функция (44) удовлетворяет уравнению (28) и представляет собой сферическую волну, расходящуюся радиально со скоростью а от начала координат. При этом воздействие на точку (x, y, z) в момент времени t зависит только от отдельного импульса, возникшего в начале координат в момент времени и пришедшего в точку (x, y, z).
|
В случае уравнения (40) мы должны, так же как и выше, считать, что
при ,
а вместо (43) написать
,
где Сε – круг с центром в начале координат радиуса ε.
Обращаясь к формуле (42) и переходя к пределу при ε → 0, получим решение для точечного источника на плоскости
(45)
где и
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!