Ожидаемая доходность портфеля

Значение ожидаемой доходности переоценить невозможно, т.к. она служит мерой потенциального вознаграждения, связанного с управлением портфелем. Для финансовых менеджеров ожидаемая доходность является исходной информацией для принятия решений.

Составляя портфель из различных активов, менеджер не может точно определить будущую динамику доходности портфеля и соответствующих рисков, поэтому портфель строится на показателях ожидаемых их значений. Вероятностное прогнозирование включает в себя определение различных альтернативных результатов и вероятностей того, что они будут достигнуты. Такие прогнозы могут быть сделаны только на основе прошлых наблюдений или путем сочетания наблюдений в прошлом с оценками будущего.

Один из простейших показателей оценки ожидаемой доходности портфеля – средне-взвешенная величина (среднее, математическое ожидание доходов за период владения) прошлых значений доходности входящих в него активов. Поскольку портфель, формируемый менеджером, состоит из совокупности различных ценных бумаг, каждая из которых обладает своей ожидаемой доходностью, то ожидаемая доходность портфеля:

 

 

где	– ожидаемая (средняя) доходность портфеля;
	– удельный вес ценной бумаги в портфеле;
	– ожидаемая (средняя) доходность ценной бумаги.

 

Т.е. ожидаемая доходность портфеля является средневзвешенной ожидаемой доходностью ценных бумаг, входящих в портфель. В качестве весов служат относительные пропорции ценных бумаг, входящих в портфель.

Удельный вес ценной бумаги в портфеле определяется по формуле:

 

 

где	– удельный вес i -той ценной бумаги в портфеле;
	– стоимость i -той ценной бумаги;
	– стоимость портфеля.

 

Сумма всех удельных весов активов, входящих в портфель, равна единице или 100%.

 

Пример: Портфель состоит из трех активов А, В, и С с удельными весами 0,25 и 0,4 и 0,35, соответственно. Ожидаемые (средние за период) доходности активов равны 15,2 %, 14,8 %, 20,4%. Найти ожидаемую доходность портфеля.

Решение:

 

При использовании данных о вероятностном распределении доходности актива его ожидаемая доходность определяется как среднеарифметическая взвешенная доходность. При этом весами выступают вероятности каждого возможного исхода.

 

 

где

Пример: Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. Инвестор планирует три исхода событий в будущем, характеристики которых приведены в таблице. Доля актива А портфеле 40%, доля актива В портфеле 60%. Определить ожидаемую доходность портфеля.

	Вероят- ность	Доходность актива А	Доходность актива В
Исход 1	0,3	-35	-15
Исход 2	0,25		-8
Исход 3	0,45	-5

Решение:

1. (-35*0,3) + (50*0,25) + (-5*0,45) = -10,5+12,5-2,25 = -0,25

2. (-15*0,3) + (-8*0,25) + (40*0,45)= -4,5-2+18 = 11,5

3. (-0,25*0,4) + (11,5*0,6) = 6,8%

 

Ожидаемый риск портфеля

 

В общем случае предполагается, что инвестор избегает риска. Риск инвестора заключается в том, что он можетполучить доходность, отличную от ожидаемой. При этом часть портфельного риска привносится конкретным активом, а часть – самим рынком.

Риск портфеля может быть двух видов:

§ систематический (недиверсифицируемый, рыночный) риск, кото­рый включает в себя общие экономические условия и не устраняется путем диверсификации;

§ диверсифицируемый (несистематический) — риск, специфичный для каждого конкретного актива. Его величину можно изменять путем включения новых активов в портфель, т.е. путем диверсификации.

В практике портфельного инвестирования принято, что даже случайно выбранные 8-20 активов могут устранить диверсифицируемый риск. Идеальный портфель настолько диверсифицирован, что единственным риском является систематический риск.

Графически соотношения риска и возможность его снижения через диверсификацию можно представить следующим образом:

 

 

Так как риск представляет собой величину вероятностную, в качестве меры диверсифицируемого риска используются статистические показатели разброса случайной величины: дисперсия и стандартное отклонение. Они показывают, насколько и с какой вероятностью фактическая доходность актива может отличаться от величины его ожидаемой доходности (средней за период). Хотя для инвестора риск состоит только в том, что фактически доходность окажется ниже ожидаемой, эти показатели учитывают отклонения в обе стороны (+/ -). Следовательно, чем меньше дисперсия (стандартное отклонение), тем ниже риск.

Дисперсия доходности актива i рассчитывается следующим образом:

 

 

где	– доходность актива в i-ом периоде;
	– ожидаемая доходность актива (средняя за период);

 

Таким образом, ожидаемые риски портфеля представляют собой сочетание дисперсий (стандартных отклонений) входящих в него активов.

Если доходность актива представлена выборкой данных за определенный период n (период наблюдения), рассчитывается величина выборочной дисперсии за представленный период на основе смещенных оценок:

 

Пример: Доходность актива за 3 года представлена в таблице. Определить риск актива, представленный показателем выборочной дисперсии доходности.

Годы
Доходность (%)

Решение:

1. = (10+14+18)/3=14%

2. = ((10-14)²+(14-14)²+(18-14)²) / 3 = 10,67%

 

При использовании данных о вероятностном распределении доходности актива его риск, представленный дисперсией, рассчитывается по формуле:

 

 

Применение дисперсии для оценки риска финансовых операций не всегда удобно, т.к. размерность дисперсии равна квадрату единицы измерения случайной величины. На практике результаты анализа более наглядны, если показатель выражен в тех же единицах, что и сама величина.

Для этого используется стандартное (среднеквадратическое) отклонение. Стандартное отклонение рассчитывается как квадратный корень из дисперсии.

 

Пример: Используя данные из вышеприведенного примера, определить стандартное отклонение.

Решение:

 

В связи с тем, что различные активы по-разному реагируют на конъюнктурные изменения рынка, ожидаемый риск портфеля в большинстве случаев не соответствует средневзвешенной величине стандартных отклонений доходностей входящих в него активов. Стандартное отклонение (риск) портфеля, состоящего из двух активов, на основе корреляции их доходностей вычисляется по следующей формуле:

 

 

где	– стандартное отклонение активов x и y;
	– коэффициент корреляции между активами x и y.

Пример: Портфель состоит из активов X и Y. Инвестор купил актив X на 300 тыс. руб., актив Y на 900 тыс. руб. Стандартное отклонение доходности актива X в расчете на год 20%, актива Y 30%, коэффициент корреляции доходностей активов 0,6. Определить риск портфеля, измеренный стандартным отклонением.

Решение:

1. = 300/(300+900) = 0,25;

2. = 900/(300+900) = 0,75;

3. .