Однородные уравнения второго порядка

 

Рассмотрим линейное однородное уравнение

 

 

где р и q — вещественные числа. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка, как следует из теоремы 10.1, мо­жет иметь множество решений. Однако среди них выделяют базисные решения, по которым строится общее решение урав­нения. Таких решений для уравнения второго порядка — два, каков и порядок уравнения.

Определение 3. Решения у ₁ (х) и у ₂ (х) уравнения (10.9) называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю:

 

 

лишь в том случае, когда С ₁ = C ₂ = 0.

В том случае, когда можно найти такие числа С ₁ и С ₂, не равные нулю одновременно, что для функций у ₁ (х) и у ₂ (х) на некотором интервале (a, b) выполняется равенство (10.10) для любого х (а, b), эти функции называются линейно зависимы­ми на интервале (а, b). Линейная зависимость функций озна­чает их пропорциональность, например, у ₁ (х)/у ₂ (х) = —С ₂ /С ₁, при у ₂ (х) ≠ 0 и С ₁ ≠ 0.

ТЕОРЕМА 2. Пусть решения у₁(х) и у₂(х) уравнения (10.9) линейно независимы на интервале (а, b). Тогда функция

 

 

где С₁ и С₂ — произвольные постоянные, является общим решением однородного уравнения (10.9).

Эта теорема, по сути дела, выражает метод нахождения об­щего решения однородного дифференциального уравнения вто­рого порядка: нужно отыскать два линейно независимых реше­ния и взять их линейную комбинацию вида (10.11).

Будем искать решение уравнения (10.9) в виде у = е^kx, где k — некоторое число. Подставляя эту функцию в уравнение (10.9), получаем

 

 

Сокращая обе части этого равенства на е^kx, получаем квад­ратное уравнение относительно k

 

 

Стало быть, если число k является корнем уравнения (10.12), то функция у = е^kx есть решение однородного уравнения (10.9). Уравнение (10.10) называется характеристическим уравнени­ем для дифференциального уравнения (10.9).

Вид общего решения уравнения (10.9) существенно зави­сит от того, какие корни имеет характеристическое уравнение (10.10). Обозначим эти корни через k ₁ и k ₂. Справедлива сле­дующая теорема.

ТЕОРЕМА 3. А) Если корни характеристического уравне­ния вещественные и k₁ ≠ k₂, то общее решение однородного дифференциального уравнения (10.9) имеет вид

 

 

Б) если корни уравнения (10.12) вещественные и равные между собой (k₁ = k₂ = k), то общее решение уравнения (10.9) имеет вид

 

 

В) если корни характеристического уравнения комплекс­ные (k₁ = а + bi, k₂ = а — bi, где i = , a и b — вещественные числа), то общее решение уравнения (10.9) имеетвид

 

 

где а = -р/2, b = . Во всех трех случаях С₁ и С₂ — произвольные постоянные.

Заметим, что когда дискриминант характеристического уравнения (10.12) отрицательный, корни характеристического многочлена с действительными коэффициентами представля­ют собой комплексно-сопряженные числа; в случае В исполь­зована их алгебраическая форма.

Рассмотрим примеры отыскания общих решений однород­ных дифференциальных уравнений второго порядка.

 

Решение. Характеристическое уравнение данного диффе­ренциального уравнения имеет вид

 

 

Его корни вещественные и различны: k ₁ = 1, k ₂ = 4. Следова­тельно, общее решение данного уравнения имеет вид

 

 

Решение. Составим характеристическое уравнение:

 

 

Оно имеет кратный корень k =3; следовательно, общее реше­ние данного однородного уравнения имеет вид

 

 

Решение. Соответствующее характеристическое уравне­ние

 

 

имеет дискриминант, равный —1, и, значит, комплексно-соп­ряженные корни таковы: k ₁ = 1 + i, k ₂ = 1 — i, где i = — мнимая единица. Следовательно, общее решение данного урав­нения дается формулой