История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-08-11 | 246 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Основные понятия
Базовые определения
Определение 1. Уравнение вида
где х — независимая переменная, у и у' — соответственно неизвестная функция и ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:
В случае когда из уравнения можно выразить у', оно имеет вид
Уравнение (9.1) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. В дальнейшем будем рассматривать уравнения первого порядка именно такого вида. Примеры уравнений, разрешенных относительно производной:
Приведем примеры уравнений, которые можно разрешить относительно производной неизвестной функции у'.
Пример 1. (y')2 = x 2 + у 2, откуда получаем два уравнения первого порядка у' = ± .
Определение 2. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = φ(x), определенная на некотором интервале (а, b), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Например, функция у = х 2 тождественно обращает в нуль левую часть уравнения ху' — 2 х 2 = 0 и потому представляет собой решение этого уравнения.
В теории дифференциальных уравнений основной задачей является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на него дает теорема Коши, которую мы приводим без доказательства.
ТЕОРЕМА 1. Пусть дано дифференциальное уравнение (9.1). Если функция f(x,y) и ее частная производная f'y(x,y) непрерывны в некоторой области D плоскости Оху, то в некоторой окрестности любой внутренней точки (x0, у0) этой области существует единственное решение уравнения (9.1), удовлетворяющее условию у = у0 при х = x0.
|
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. В области D содержится бесконечно много интегральных кривых. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определенных условий через каждую внутреннюю точку области D проходит только одна интегральная кривая. Условия, которые задают значение функции у 0 в фиксированной точке x 0, называют начальными условиями (условиями Коши) и записывают в такой форме:
Задача нахождения решения уравнения (9.1), удовлетворяющего условию (9.2), называется задачей Коши — из множества интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку (x 0, y 0) области D.
В ряде случаев, когда условия теоремы Коши не выполнены, через некоторые точки плоскости Оху либо не проходит ни одной интегральной кривой, либо проходит более одной интегральной кривой; эти точки называются особыми точками данного дифференциального уравнения.
Определение 3. Общим решением уравнения (9.1) называется функция у = φ(x, С), удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной С.
Определение 4. Частным решением уравнения (9.1) в области D называется функция у = φ(х,С 0 ), полученная при определенном значении постоянной С = С 0.
Общее решение у = φ (x, С) описывает семейство интегральных кривых на плоскости Оху. Условия Коши (9.2) фиксируют произвольную постоянную С и позволяют выбрать из семейства интегральных кривых уравнения (9.1) одну интегральную кривую у = φ(x,C 0 ), проходящую через заданную точку (x 0, y 0).
Например, рассмотрим уравнение у' = 2 х. Правая часть этого уравнения удовлетворяет условиям теоремы Коши во всех точках плоскости Оху (функции f (x, у) = 2 х и f'y(x, у) 0 определены и непрерывны на всей плоскости Оху). Нетрудно видеть, что общим решением уравнения является функция у = х 2 + С, где С — произвольная постоянная, описывающая семейство парабол (рис. 9.1). Для отыскания частного решения зададим произвольные начальные условия (9.2) и подставим их в формулу общего решения; получаем, что С = у 0 — x 02, откуда находим частное решение у = х 2 + у 0 – х 02. Это частное решение выделяет из семейства парабол одну, проходящую через точку (х 0, у 0 ).
|
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!