Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-08-11 | 337 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Часть 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Дифференциальные уравнения занимают особое место в математике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения.
В дифференциальных уравнениях неизвестная функция содержится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функций, представляющих собой решения этих уравнений.
В этой части излагаются элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, когда неизвестные функции зависят от одной переменной. Теория дифференциальных уравнений, когда неизвестные функции зависят от нескольких переменных — уравнения в частных производных, является более сложной и представляет специальный раздел математики.
Глава 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Основные понятия
Базовые определения
Определение 1. Уравнение вида
где х — независимая переменная, у и у' — соответственно неизвестная функция и ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:
В случае когда из уравнения можно выразить у', оно имеет вид
Уравнение (9.1) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. В дальнейшем будем рассматривать уравнения первого порядка именно такого вида. Примеры уравнений, разрешенных относительно производной:
|
Приведем примеры уравнений, которые можно разрешить относительно производной неизвестной функции у'.
Пример 1. (y')2 = x 2 + у 2, откуда получаем два уравнения первого порядка у' = ± .
Определение 2. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = φ(x), определенная на некотором интервале (а, b), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Например, функция у = х 2 тождественно обращает в нуль левую часть уравнения ху' — 2 х 2 = 0 и потому представляет собой решение этого уравнения.
В теории дифференциальных уравнений основной задачей является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на него дает теорема Коши, которую мы приводим без доказательства.
ТЕОРЕМА 1. Пусть дано дифференциальное уравнение (9.1). Если функция f(x,y) и ее частная производная f'y(x,y) непрерывны в некоторой области D плоскости Оху, то в некоторой окрестности любой внутренней точки (x0, у0) этой области существует единственное решение уравнения (9.1), удовлетворяющее условию у = у0 при х = x0.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. В области D содержится бесконечно много интегральных кривых. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определенных условий через каждую внутреннюю точку области D проходит только одна интегральная кривая. Условия, которые задают значение функции у 0 в фиксированной точке x 0, называют начальными условиями (условиями Коши) и записывают в такой форме:
Задача нахождения решения уравнения (9.1), удовлетворяющего условию (9.2), называется задачей Коши — из множества интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку (x 0, y 0) области D.
В ряде случаев, когда условия теоремы Коши не выполнены, через некоторые точки плоскости Оху либо не проходит ни одной интегральной кривой, либо проходит более одной интегральной кривой; эти точки называются особыми точками данного дифференциального уравнения.
|
Определение 3. Общим решением уравнения (9.1) называется функция у = φ(x, С), удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной С.
Определение 4. Частным решением уравнения (9.1) в области D называется функция у = φ(х,С 0 ), полученная при определенном значении постоянной С = С 0.
Общее решение у = φ (x, С) описывает семейство интегральных кривых на плоскости Оху. Условия Коши (9.2) фиксируют произвольную постоянную С и позволяют выбрать из семейства интегральных кривых уравнения (9.1) одну интегральную кривую у = φ(x,C 0 ), проходящую через заданную точку (x 0, y 0).
Например, рассмотрим уравнение у' = 2 х. Правая часть этого уравнения удовлетворяет условиям теоремы Коши во всех точках плоскости Оху (функции f (x, у) = 2 х и f'y(x, у) 0 определены и непрерывны на всей плоскости Оху). Нетрудно видеть, что общим решением уравнения является функция у = х 2 + С, где С — произвольная постоянная, описывающая семейство парабол (рис. 9.1). Для отыскания частного решения зададим произвольные начальные условия (9.2) и подставим их в формулу общего решения; получаем, что С = у 0 — x 02, откуда находим частное решение у = х 2 + у 0 – х 02. Это частное решение выделяет из семейства парабол одну, проходящую через точку (х 0, у 0 ).
Неполные уравнения
Определение 6. Дифференциальное уравнение первого порядка (9.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.
Различают два случая такой зависимости.
1. Пусть функция f зависит только от х. Переписав это уравнение в виде
нетрудно убедиться, что его решением является функция
2. Пусть функция f зависит только от у, т.е. уравнение (9.1) имеет вид
Дифференциальное уравнение такого вида называется автономным. Такие уравнения часто употребимы в практике математического моделирования и исследования природных и физических процессов, когда, например, независимая переменная х играет роль времени, не входящего в соотношения, описывающие законы природы. В этом случае особый интерес представляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки,— нули функции f (у), где производная у' = 0.
Решение уравнения (9.6) методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения неизвестной функции у = φ(x) (или х = ψ(у)):
|
В общей теории дифференциальных уравнений развита теория качественного анализа, основанная на исследовании характера стационарных точек.
Основные понятия теории
Определение 1. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
где х — независимая переменная, у — искомая функция, у' и у" — соответственно ее первая и вторая производные.
Примеры дифференциальных уравнений второго порядка:
Будем рассматривать уравнения, которые можно записать в виде, разрешенном относительно второй производной:
Как и в случае уравнения первого порядка, решением уравнения (10.1) называется функция у = φ(x), определенная на некотором интервале (а, b), которая обращает это уравнение в тождество. График решения называется интегральной кривой. Имеет место теорема существования и единственности решения уравнения второго порядка.
ТЕОРЕМА 1 (теорема Коши). Пусть функция f(x, у, у') и ее частные производные и , непрерывны в некоторой области D пространства переменных (x, у, у'). Тогда для любой внутренней точки М0(х0, у0, у'0) этой области существует единственное решение уравнения (10.2), удовлетворяющее условиям:
Геометрический смысл этой теоремы (ее доказательство мы не приводим) заключается в том, что через заданную точку (x 0, y 0) на координатной плоскости Оху проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом y 0 ' касательной (рис. 10.1).
Условия (10.3) называются начальными условиями, а задачу отыскания решения уравнения (10.2) по заданным начальным условиям называют задачей Коши.
Общим решением уравнения (10.2) в некоторой области D называется функция у = φ(х, С 1, С 2), если она является решением этого уравнения при любых постоянных величинах С 1и C 2, которые могут быть определены единственным образом при заданных начальных условиях (10.3). Частным решением уравнения (10.2) называется общее решение этого уравнения при фиксированных значениях постоянных С 1 и C 2: у = φ(х, С 10, С 20 ).
Рассмотрим для пояснения уравнение у" = 0. Его общее решение получается при двухкратном интегрировании этого уравнения:
|
где С 1 и C 2 — произвольные постоянные. Это решение пред ставляет собой семейство прямых, проходящих в произвольных направлениях, причем через каждую точку плоскости Охy проходит бесконечное число таких прямых. Поэтому для выделения частного решения, проходящего через заданную точку (х 0, y 0 ), следует задать еще и угловой коэффициент прямой, совпадающей в данном случае со своей касательной. Например, найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
т.е. нужно найти прямую, проходящую через точку M (l, 2), с угловым коэффициентом, равным единице. Подстановка начальных условий в общее решение уравнения приводит к системе двух линейных уравнений относительно постоянных С 1и C 2
откуда С 1 = 1, C 2 = 1. Таким образом, искомое частное решение — это прямая у = х + 1.
Часть 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Дифференциальные уравнения занимают особое место в математике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения.
В дифференциальных уравнениях неизвестная функция содержится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функций, представляющих собой решения этих уравнений.
В этой части излагаются элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, когда неизвестные функции зависят от одной переменной. Теория дифференциальных уравнений, когда неизвестные функции зависят от нескольких переменных — уравнения в частных производных, является более сложной и представляет специальный раздел математики.
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!