Кинетическая энергия твердого тела.

1. Поступательное движение тела.

,

- скорость любой точки твердого тела

2. Вращение тела вокруг неподвижной оси.

,

- угловая скорость вращения твердого тела.

3. Плоское движение тела.

Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении складывается из кинетической энергии тела вместе с центром масс и кинетической энергии тела от вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения..

,

- скорость центра масс твердого тела, - угловая скорость вращения твердого тела.

Закон сохранения энергии

При движении системы в потенциальном поле механическая энергия ее (сумма потенциальной и кинетической) все время остается неизменной, постоянной:

П + Т = const.

Это и есть закон сохранения механической энергии.

Такую материальную систему, при движении которой действует этот закон, называют консервативной системой (энергия ее как бы законсервирована, не изменяется).

 

Принцип Даламбера для материальной системы

Применив метод кинетостатики ко всем точкам материальной системы, можно сказать, что, если к точкам системы приложить их силы инерции, то система будет находиться в равновесии, а главный вектор всех сил (внешних, внутренних и сил инерции точек) и главный момент их будут равны нулю:

'= 0, .

Из сказанного выше следует метод решения задач динамики, который называют принципом Даламбера. Он заключается в том, что задачу динамики, исследования движения материальной системы, можно решать методами статики, составлением известных уравнений равновесия, учтя силы инерции точек системы.

Силы инерции твердого тела

Главный вектор сил инерции точек тела, при любом его движении,

 

_ин = .

То есть величина главного вектора равна произведению массы тела на ускорение центра масс его и направлен в сторону противоположную ускорению центра масс.

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Твердое тело движется поступательно.

При таком движении главный момент сил инерции можно не определять, а находить сразу равнодействующую этих сил.

Она равна главному вектору _ин = , и приложена к точке, радиус-вектор которой , равен радиусу-вектору центра масс.

Следовательно, равнодействующая сил инерции точек тела при поступательном движении приложена к центру масс тела, как к центру параллельных сил.

 

2. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси.

Главный момент сил инерции точек тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на модуль углового ускорения

.

Направляется он в сторону, противоположную угловому ускорению.

Главный момент сил инерции относительно оси x

,

где J_xz, J_yz – центробежные моменты инерции тела относительно соответствующих осей в точке О

Главный момент сил инерции точек тела относительно оси у

.

Опять, если тело имеет плоскость симметрии, перпендикулярную оси вращения .

Определив главные моменты сил инерции точек тела относительно взаимно перпендикулярных осей х, у, z, можно найти главный момент относительно точки О, начала координат,

,

1. Тело совершает плоскопараллельное движение.

Главный момент сил инерции точек тела при плоскопараллельном движении относительно центральной оси С, перпендикулярной плоскости движения, равен произведению момента инерции относительно этой оси на модуль углового ускорения

.

Направляется этот момент в сторону, противоположную направлению углового ускорения .

Принцип Даламбера удобно использовать при решении задач, в которых требуется определить неизвестные силы и, иногда, ускорение.

Пример 1. Шар весом Р скатывается без скольжения по наклонной плоскости. Определим реакции плоскости и ускорение центра масс С.

Показываем внешние силы, действующие на шар: вес , реакции и (трение качения учитывать не будем). Добавляем силы инерции: главный вектор , приложенный к центру масс, и главный момент сил инерции относительно центральной оси. Величина их

;

.

Составляем уравнения равновесия:

; ;

; ;

; .

Из первого уравнения находим ускорение центра масс.

Так как , то .

Из второго уравнения – силу трения ;

из третьего – нормальную реакцию N = P cos α ..

Моменты инерции некоторых тел, которые чаще всего встречаются при исследовании движения материальных систем: