Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-07-01 | 434 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Моменты инерции
Моменты инерции части поверхности относительно осей координат выражаются поверхностными интегралами
, ,
. (3.5)
2. Координаты центра тяжести
Координаты центра тяжести части поверхности вычисляются по формулам:
, ,
. (3.6)
Пример 3.1. Вычислить моменты инерции относительно осей координат для поверхности цилиндра
х 2 + у 2 = 9, z = 0, z = 3
с поверхностной плотностью g(х, у) = х 2 + у 2.
Рис. 3.2 |
Решение. Воспользуемся формулами (3.5). Известно, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей, поэтому для всей поверхности цилиндра
I = I 1 + I 2 + I 3,
где I 1, I 2, I 3 - моменты инерции оснований и боковой поверхности.
1) Рассмотрим основание цилиндра, лежащее в плоскости xOy, т.е. z = 0. Здесь поверхность S 1 совпадает с двумерной областью D, т.е. элемент поверхности равен d s= dxdy. Таким образом, поверхностный интеграл обращается в двойной:
.
Перейдем к полярным координатам: , тогда область интегрирования D будет определяться неравенствами: , . Момент инерции:
.
Для оси Ох:
.
Основание симметрично относительно оси Oz, поэтому .
2) Для основания цилиндра, лежащего в плоскости z = 3, рассуждения аналогичны.
.
3) Боковую поверхность цилиндра зададим параметрически: , z = z. Тогда поверхностный интеграл будем вычислять по формуле (3.4). Новыми переменными являются t и z.
,
,
.
Тогда и ds =3 dt dz.
Область интегрирования D: , .
= .
.
4) Моменты инерции всей поверхности находятся как суммы соответствующих моментов частей поверхности:
.
.
Ответ: моменты инерции поверхности равны
Ix= , Iy= , Iz= 1944p.
Пример 3.2. Найти координаты центра тяжести поверхности S, заданной уравнениями и z = 4, если поверхностная плотность .
|
Решение. Поверхность состоит из двух частей: основания S 1 и боковой поверхности S 2. Из механики известно, что координаты центра тяжести (xc, yc, zc) всей поверхности определяются через координаты центров тяжести его частей (xci, yci, zci) следующим образом:
,
, ,
Рис. 3.3 |
где mi - масса i -ой части поверхности.
Так как тело симметрично относительно оси Oz, то xc = = yc = 0. Аппликату центра тяжести найдем из соотношения:
.
1) Найдем массу основания S 1 по формуле (3.2). Так как основание лежит в плоскости параллельной хОу, то элемент поверхности d s= dxdy и поверхностный интеграл обращается в двойной, где область интегрирования D есть проекция основания:
.
Перейдем к полярным координатам: , тогда область интегрирования D будет определяться неравенствами: , .
.
Найдем zc 1 по формуле (3.6), учитывая, что z = 4:
= .
2) Боковая поверхность S 2 определяется уравнением , тогда из (3.3) следует, что элемент поверхности
.
Масса боковой поверхности:
= .
Аппликата z с2:
.
3) Для всей поверхности:
= .
Ответ: координаты центра тяжести поверхности:
.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ВТОРОГО РОДА
Пусть в каждой точке поверхности S определен некоторый вектор или задано векторное поле
,
где P, Q, R - непрерывные функции, и пусть - единичный вектор нормали к поверхности.
Определение. Предел интегральных сумм
Рис. 3.4 |
при стремлении максимального диаметра площадок Ds i к нулю называется поверхностным интегралом второго рода или поверхностным интегралом от векторной функции,
.
Координаты единичного вектора нормали есть направляющие косинусы, т.е.
,
тогда скалярное произведение можно расписать через координаты
.
Произведение ∆σ ·cosα есть проекция площадки ∆σ на плоскость yOz, т.е. ∆σ yz. Аналогично получим остальные проекции,
.
Суммируя и переходя к пределу, запишем поверхностный интеграл второго рода в другом виде, по координатам
, (3.7)
где S + - сторона поверхности, задаваемая направлением нормали .
|
При переходе к другой стороне S - поверхности S интеграл второго рода меняет знак на противоположный.
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!