Физический смысл криволинейного интеграла I рода — КиберПедия 

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьше­ния длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...

Физический смысл криволинейного интеграла I рода

2017-07-01 553
Физический смысл криволинейного интеграла I рода 0.00 из 5.00 0 оценок
Заказать работу

Криволинейный интеграл от функции r(x, y, z) по кривой АВ равен массе материальной кривой АВ, имеющей переменную линейную плотность r(x, y, z), т.е.

.

Если r= 1, то интеграл равен длине дуги кривой АВ,

.

 

Вычисление криволинейного интеграла I рода

1. Если плоская кривая задана уравнением y = y (x), где a £ x £ b, то элемент дуги равен , тогда криволинейный интеграл вычисляется по формуле

.

2. Если плоская кривая задана параметрически х = х (t), y = y (t) (t 1 £ t £ t 2), то

, .

3. Если кривая пространственная, тогда

.


 

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ВТОРОГО РОДА

 

Пусть в пространстве заданы: направленная гладкая кривая АВ, функция P (x, y, z) на этой кривой, { li } - произвольное разбиение кривой АВ, точка Mi Î li, D xi - проекция дуги li на ось Ох.

Определение. Предел интегральных сумм

,

если максимальный диаметр разбиения { li } стремится к нулю, называется криволинейным интегралом второго рода по координате x и обозначается

.

Аналогично определяются криволинейные интегралы по координатам у и z, их обозначают

и .

Определение. Интеграл

называется общим криволинейным интегралом второго рода или криволинейным интегралом по координатам.

 

Отметим, что при изменении направления кривой АВ криволинейный интеграл второго рода меняет свое значение на противоположное, т.е.

= .

Механический смысл криволинейного интеграла

Предположим, что при движении по кривой АВ материальная точка Р, имеющая единичную массу, переходит из положения А в положение В. Дифференциал радиус-вектора точки кривой направлен по касательной и вычисляется по формуле:

.

Во время движения на точку действует переменная сила , заданная своими проекциями Fx, Fy, Fz на координатные оси, т.е.

.

Тогда работа силы на малом участке ∆ li равна скалярному произведению , а на всем пути АВ равна общему криволинейному интегралу второго рода

(2.2)

Поэтому криволинейный интеграл второго рода называют также криволинейным интегралом от векторной функции.

 

Вычисление криволинейного интеграла II рода

1. Если пространственная кривая задана параметрическими уравнениями х = х (t), y = y (t), z = z (t) (t 1 £ t £ t 2), то вместо каждой координаты в интеграл надо подставить ее выражение

=

=

.

2. Если кривая плоская и задана уравнением y = j (x), где a £ x £ b, то

.

3. Если плоская кривая интегрирования замкнута, то криволинейный интеграл обозначают . Интеграл не зависит от того, какую точку берут за начало. Положительным направлением обхода считают движение по часовой стрелке. При вычислении интеграла по замкнутому контуру можно использовать формулу Грина, которая позволяет перейти к двойному интегралу.

 

Формула Грина

Если C – граница области D и функции P и Q вместе со своими частными производными и непрерывны в области D, то справедлива формула Грина:

, (2.3)

контур обходится так, чтобы область оставалась слева (пример 2.2).

 


Поделиться с друзьями:

Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...

Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...

Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.008 с.