Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-07-01 | 752 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Если функции P, Q, R непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области V пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью S, то справедлива формула Остроградского-Гаусса:
,
или в векторной форме
.
Пример 3.3. Летательный аппарат, поверхность S которого задается уравнениями: , z = 2 (координаты даны в метрах); находится в потоке частиц, движущихся со скоростью (м/c). Вычислить массу частиц m, бомбардирующих боковую поверхность аппарата в единицу времени, если плотность вещества в потоке m= const (кг/м3).
Решение. Масса частиц, бомбардирующих боковую поверхность в единицу времени, определяется как произведение
m= m ×П,
где П - поток векторного поля через боковую поверхность S, m - плотность частиц. Поток можно определить разными способами.
Способ 1. Вычислим поток П с помощью поверхностного интеграла (3.8):
.
Для этого надо найти скалярное произведение , где - вектор нормали к боковой поверхности, направленный внутрь (рис.3.5). Запишем уравнение боковой поверхности в виде , тогда вектор найдем по формулам (3.9):
, , ,
Рис. 3.5 |
, , .
Объясним выбор знаков. Вектор направлен внутрь поверхности и образует с осью Oz острый угол, следовательно, направляющий косинус должен быть положителен, cos g > 0. А так как производная отрицательна, то радикал в знаменателе берем со знаком «минус», и в других дробях тоже.
Скалярное произведение векторов скорости и нормали:
.
При y > 0 скалярное произведение отрицательно, т.е. в этой области частицы вылетают из аппарата. Это противоречит условию, так как частицы не проходят сквозь поверхность, а бомбардируют ее. Следовательно, ту часть поверхности, где < 0, необходимо исключить. Тогда интегрировать будем по той части поверхности S, где у < 0.
|
Так как , то
.
Имеем
.
Способ 2. Вычислим поток как поверхностный интеграл по координатам (3.7)
.
Векторное поле имеет координаты P = 0, Q = 5, R = 0, тогда
.
Этот поверхностный интеграл приведем к двойному по проекции поверхности S на плоскость xOz по формуле (3.10):
.
Так как поле параллельно оси Oy, то частицы будут бомбардировать только ту часть поверхности, где у < 0. Вектор нормали, направленный внутрь поверхности, образует с осью Oy острый угол, поэтому мы возьмем интеграл с положительным знаком.
.
Отметим, что не во всех случаях по заданию векторного поля можно увидеть бомбардируемую часть поверхности. Тогда вернее воспользоваться первым способом и определить область, где скалярное произведение положительно. В тех задачах, где поле проникает сквозь поверхность эта операция лишняя и оба метода пригодны.
Ответ: масса частиц .
|
Решение. Нормаль , соответствующая указанной стороне поверхности, образует с осью Oy тупой угол, а с осями Ox и Oz – острые. Поэтому в формуле (3.10) берем знаки «плюс», «минус», «плюс» и получаем двойные интегралы по проекциям поверхности на координатные плоскости.
=
.
Ответ: -9.
ЗАДАНИЕ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ
1. Оболочка S летательного аппарата представляет собой полую тонкостенную конструкцию, выполненную из композиционного материала с поверхностной плотностью g(x, y, z) (координаты даны в метрах, поверхностная плотность - кг/м2). Вычислить:
а) массу оболочки m 0;
б) координаты центра тяжести C 0(xc 0, yc 0, zc 0);
в) моменты инерции оболочки относительно координатных осей Ix 0, Iy 0, Iz 0.
2. Укомплектованный, готовый к запуску аппарат можно считать однородным с пространственной плотностью m 1 = const (кг/м3), т.е. массу оболочки не учитывать. Вычислить:
|
а) массу аппарата m 1;
б) координаты центра тяжести C 1(xс 1, yс 1, zс 1);
в) моменты инерции аппарата относительно координатных осей Ix 1, Iy 1, Iz 1.
3. Летательный аппарат находится в потоке частиц, движущихся со скоростью (x, y, z) (м/c). Вычислить массу частиц m, бомбардирующих боковую поверхность аппарата в единицу времени, если плотность вещества в потоке m2 = const (кг/м3).
4. Теплота сгорания топлива q =102 МДж/кг, КПД двигателей h= 60%. Рассматривая летательный аппарат как материальную точку, найти массу горючего M, необходимого для перемещения аппарата в силовом поле (x, y) вдоль траектории L от точки A до точки B (сила дана в килоньютонах, координаты - в километрах).
Данные по вариантам приведены в приложении.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: в 2 т. / Н. С. Пискунов. – Т. 2. – М.: Наука, 1985.
2. Смирнов, В. И. Курс высшей математики: в 8 т. / В. И. Смирнов. – Т. 2. – М.: Наука, 1965.
3. Шестаков, А. А. Курс высшей математики / А. А. Шестаков. – М.: Высш. шк., 1981.
4. Слободецкий, Л. Н. Интегральное исчисление / Л. Н. Слободецкий. – М.: Высш. шк., 1974.
5. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. – М.: Наука, 1980.
6. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова и др. – Ч. 2. – М.: Высш. шк., 1980.
7. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: в 2 ч. / Д. Т. Письменный. – Ч. 2. – М.: Рольф, 2001.
Приложение
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
№ | Поверхность S | Поверх. плотность γ(x, y, z) | Поле скоростей (x, y, z) | Силовое поле (x, y) | Траектория L |
x 2 + y 2 = 1, z = 2, z = 0 | x 2 | (- x; - y; z) | (x – y; 1) | x 2 + y 2 = 4, y > 0, A (-2;0), B (2;0) | |
, z = 4 | y 2 | (- x; - y; z) | (x – y; x + y) | , y > 0, A (-3;0), B (3;0) | |
x 2 + y 2 + z 2 = 4, z > 0 | z + 1 | (y; - x; 0) | (y 2; x) | y = 4 x, A (2;8), B (0;0) | |
2 z = 4 – (x 2 + y 2), z = 0 | x 2 | (- x; - y; -2 z) | (x 2 y; - y) | отрезок AB, A (-1;0), B (0;1) | |
, z = 0 | y 2 | (- x; - y; - z) | y = 2 , A (1;2), B (0;0) | ||
x 2 + y 2 = 2 z, z = 1/2 | x 2 | (x; y; 2 z +10) | (xy - y 2; x) | y = 2 x 2, A (1;2), B (0;0) | |
x 2 + y 2 = z 2, z > 0, z = 1 | x 2 | (x - 5; y; z) | (y 2 - y; 2 xy) | x 2 + y 2 = 9, y > 0, A (-3;0), B (3;0) | |
x 2 + y 2 + z 2 = 9, z > 0 | x 2 | (0; 0; z 2 –16) | (xy; 2) | y = sin x, A (π;0), B (0;0) | |
y 2 + z 2 = 10 x, x = 10 | y 2 + z 2 | (2 x +20; y; z) | (x 2 + y 2; y 2) | отрезок AB, A (2;0), B (0;2) |
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!