Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-06-29 | 455 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Напряженность поля уединенного положительного точечного заряда q в точке A на расстоянии r от заряда (рис.2.1) равна
.
Здесь ― единичный вектор, направленный вдоль прямой, соединяющей эту точку и заряд.
Рис.2.1. Поле точечного заряда
Пусть потенциал равен нулю на бесконечности. Тогда потенциал произвольной точки поля точечного заряда
.
В случае объемного распределения заряда (в конечной области) с учетом имеем:
.
Аналогично иммеем:
для поверхностного распределения заряда ,
для линейного распределения заряда .
Уравнение Пуассона и Лапласа
Ранее было получено . Тогда:
, откуда получаем уравнением Пуассона:
или .
- опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта).
В декартовой системе координат может быть представлено в форме
.
Решение уравнения Пуассона в общем виде можно найти следующим образом. Положим, что в объеме V есть заряды плотностью r. Эти заряды представим в виде совокупности точечных зарядов r dV, где dV ― элемент объема. Составляющая потенциала d j электрического поля от элементарного заряда r dV равен .
Значение j определяется как сумма (интеграл) потенциалов от всех зарядов поля:
.
Предполагается, что потенциал на бесконечности равен нулю и заряды, создающие поля распределены в ограниченной области (иначе интеграл может оказаться расходящимся).
В реальных условиях свободные заряды располагаются на поверхности проводников бесконечно тонким слоем. В диэлектриках, которыми разделены заряженные проводники, объемные заряды отсутствуют . В этом случае в диэлектрике имеем уравнение Лапласа:
или .
Для однозначного решения дифференциальных уравнений поля необходимы граничные условия.
|
Граничные условия для векторов электрического поля
Пусть наповерхности раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями ε1 и ε2 распределен поверхностный заряд плотностью σ.
Окружим точку на поверхности раздела сред элементарнымцилиндром (высота цилиндра много меньше радиуса) таким образом, чтобы его основания находились в разных средах и были перпендикулярны к нормали, проведенной в рассматриваемой точке (рис.2.2). Этот цилиндр охватывает малую площадку на поверхности раздела сред с зарядом σ .
Векторы электрического смещения в первой и второй средах обозначим соответственно и .
Применим к поверхности цилиндра теорему Гаусса
,
где S ― поверхность элементарного цилиндра.
Рис.2.2. Векторы элекрического смещения на границе сред
Устремим объём цилиндра к нулю при условие, что высота цилиндра много меньше его радиуса. В этом случае можно пренебречь потоком вектора сквозь боковую поверхность. Учитывая малые размеры площадок оснований, можно считать что вектор в пределах своей площадки имеет одно и то же значение. С учетом этого после интегрирования для проекций вектора на номаль получим
(*)
или
.
Учитывая, что , после сокращения получаем граничное условие нормальной составляющей вектора электрического смещения
Dn 2– Dn 1= σ. (**)
Нормальная проекция вектора электрического смещения на границе раздела двух сред претерпевает скачок, равный поверхностной плотности свободных зарядов, распределенных на этой границе.
При отсутствии на поверхности раздела сред поверхностного заряда имеем .
На границе раздела двух диэлектриков в случае отсутствия на границе раздела двух сред свободного заряда равны нормальные составляющие вектора электрического смещения.
Выделим на границе раздела сред малый контуртаким образом, чтобы его стороны ab и cd находились в разных средах и были перпендикулярны к нормали, проведенной в рассматриваемой точке (рис.2.3). Размеры сторон устремим к нулю контура удовлетворяют условию .
|
Рис.2.3. Векторы напряженности электрического поля на границе сред
Применим к контуру второе уравнение Максвелла в интегральной форме:
,
где ― площадь поверхности, ограниченной контуром abcd; ― вектор элементарной площадки, направленный перпедикулярно к площадке .
При интегрировании пренебрегаем вкладом в интеграл на боковых сторонах da и bc ввиду их малости. Тогда:
.
Так как конечная величина, а стремится кнулю, то
Отсюда
(***)
или
.
На границе раздела двух диэлектриков равны тангенциальные составляющие вектора напряженности электрического поля.
При отсутствии на поверхности раздела сред поверхностного заряда из
Выражений (*) и (***)получаем соотношение, определяющее преломление векторов и на границе раздела сред
.
Для потенциала на границе имеем или . Интегриуя последнее равенство, получим:
,
где ― произвольная постоянная.
Постоянную в большинстве случаев можно считать равной нулю. Действительно, потенциал и, созданный объемными или поверхностными зарядами, является непрерывной функцией. При этом имеем:
.
На поверхности раздела двух диэлектриков с разными электрическими свойствами потенциал непрерывен.
Электростатическое поле внутри проводника (рис. 2.4) отсутствует ().
Рис. 2.4. Проводник вэлектрическом поле
Поверхность проводника является поверхностью равного потенциала.
Отсюда касательная (тангенциальная) составляющая вектора E в диэлектрике около поверхности проводника . Тогда линии напряженности и смещения поля в диэлектрике нормальны к проводящей поверхности (рис. 2.5).
Рис.2.5. Граничное условие на поверхности проводника
На поверхности проводника бесконечно тонким слоем будут располагаться свободные разряды с поверхностной плотностью . Плотность свободных зарядов на поверхности проводящего тела равна нормальной составляющей вектора электрической индукции:
.
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!