Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-06-19 | 528 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Примем λ = 1, т. е. h = k (выводы справедливы для любого λ > 0).
Пусть j = 1. Запишем уравнения (8.6) для i = 1, 2, …, n – 1:
Увеличим j: j = 2. Снова запишем уравнения (8.6) для i = 1, 2, …, n – 1:
Продолжая и дальше увеличивать j (конечное значение будет равно m – 1) и проходя i = 1, 2, …, n – 1, получим систему уравнений.
Свойства полученной системы уравнений:
1. Подавляющая часть коэффициентов равна нулю.
2. В каждом уравнении есть коэффициент +4. Если всего ненулевых коэффициентов 5, то сумма остальных равна –4, иначе их сумма равна –2 или –3.
В системе выполнены условия сходимости итерационного метода Гаусса–Зейделя (второе свойство системы). Решение методом исключения переменных нецелесообразно (m и n могут быть порядка сотен).
Выпишем некоторые уравнения для итерационного процесса. Верхними индексами обозначим порядковый номер итерации и примем u (0) i,j = 0 для всех i, j.
В каждом уравнении (начиная со второго) используется одно значение для текущей итерации, полученное из предыдущего уравнения. Остальные элементы берутся из предыдущей итерации.
Каждая пара i, j (j = 1,..., m – 1; i = 1,..., n – 1) определяет узел, в котором уравнение (8.6) решается относительно ui,j.
Сравниваются значения, полученные на двух последовательных итерациях. Наибольшая разность значений сравнивается с допуском ε, т. е. проверяется, сошелся ли процесс.
Метод Гаусса–Зейделя в применении к эллиптическим разностным уравнениям называют методом Либмана или методом последовательных смещений.
Пока метод Либмана был рассмотрен только для случая уравнения Лапласа. Вообще говоря, любое эллиптическое уравнение без членов, содержащих uxy, приводит к системе разностных уравнений, удовлетворяющих условиям сходимости.
|
Все сказанное до сих пор относилось к линейным уравнениям. Вопрос о сходимости для нелинейных уравнений разработан весьма слабо.
Имеется, однако, много успешных попыток решения квазилинейных уравнений с помощью экстраполированного метода Либмана.
Удавалось получить сходимость даже для уравнений с членом типа uxy, хотя в этом случае нет никаких теоретических оснований ожидать сходимости.
8.2 ДУ в частных производных. Гиперболические уравнения
Напомним, что в общем случае мы имеем уравнение (8.1).
При B2 – 4AC > 0 получаем уравнения гиперболического типа.
Типичный пример задачи – расчет колебаний струны.
Пусть имеется струна длиной L, натянутая между двумя точками оси х, точкой
х = 0 и точкой x = L. Натяжение струны равно Т. Если отклонить струну от положения равновесия и отпустить, то она начнет колебаться.
Смещение каждой точки струны относительно положения равновесия зависит не только от координаты x этой точки, но и от времени t (иллюстрация будет приведена ниже на рис. 8.4).
Отклонение струны от положения равновесия описывается уравнением гиперболического типа (его обычно называют волновым уравнением), которое приводится здесь без вывода:
для 0 £ x £ L, t > 0.
Коэффициент а учитывает физические характеристики. Для простоты мы примем а = 1, так что задача выразится следующим образом:
(8.7) |
Простая замена переменных сводит любое волновое уравнение к виду (8.7).
Поскольку концы струны закреплены, имеем
u (0, t) = u (L, t); t ³ 0. | (8.8) |
Начальными условиями являются начальное смещение
u (x, 0) = f (x); 0 £ x £ L, | (8.9) |
и начальная скорость
ut (x, 0) = g (x); 0 < x < L. | (8.10) |
Возможные начальные условия задачи показаны на рис. 8.4.
Рис. 8.4. Иллюстрация к задаче о колебании струны. Показаны возможные начальные условия |
Если мы оттянем струну за середину, как на рис. 8.4, и отпустим ее без придания ей начальной скорости, то начальные условия запишутся в виде
Мы назвали эти условия начальными, а не граничными. В действительности, если задать для гиперболического уравнения граничные условия, то полученная задача не будет иметь единственного решения.
|
Подобные задачи называются некорректно поставленными. Очень важно, чтобы дополнительные условия должным образом соответствовали каждому типу уравнений.
Чтобы найти разностные уравнения, соответствующие (8.7), воспользуемся равенствами (7.3) и (7.5), причем вместо у будем писать t. Теперь сетка простирается бесконечно в направлении положительных значений t – мы можем искать решение для сколь угодно далекого момента времени.
В направлении х примем шаг сетки равным h, в направлении t – равным k.
Интервал L разделяется на n = L/h малых интервалов h, а в направлении t может быть сколь угодно много интервалов k.
Если обозначить
ui,j = u (ih, jk) и l = k/h,
то разностное уравнение запишется в виде
(8.11) |
для i = 1, 2, …, n и j = 1, 2, ….
Граничное условие (8.8) записывается в виде
u0, j = un, j = 0; j = 1, 2, 3, …. | (8.12) |
Начальное условие (8.9) можно записать в виде
ui,0 = f (ih); i = 1, 2, … n – 1. | (8.13) |
Для записи в разностном виде начального условия (8.10) можно использовать равенство (7.1), откуда
C помощью (8.13) получаем
ui,1 = f (ih) + kg (ih). | (8.14) |
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!