Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-06-19 | 858 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть x0 = a, xn = b, xi = x0 + ih (i = 1, 2, …, n – 1) – система равноотстоящих узлов с некоторым шагом h = (b – a) /n и
pi = p (xi), qi = q (xi), fi = f (xi).
Пусть yi, , – приближенные значения функции y (x) и ее производных , .
Можно приближенно заменить в каждом внутреннем узле производные , конечно-разностными отношениями
. | (6.39) |
На концах отрезка примем
. | (6.40) |
Теперь можно приближенно заменить уравнение (6.37) и краевые условия (6.38) системой (n+1) уравнений с (n+1) неизвестными:
(6.41) |
Более точные формулы получаются при использовании центрально-разностных отношений:
. | (6.42) |
Теперь вместо системы (6.41) получаем:
(6.43) |
Пример решения уже был рассмотрен.
Оценка погрешности
(6.44) |
где y (xi) – значение точного решения при x = xi, M4 = max | y (4)(x)|.
Метод редукции к задаче Коши двухточечной краевой задачи
Рассмотрим на отрезке [ a, b ]граничную задачу для дифференциального уравнения
(6.45) |
с условиями
(6.46) |
где p (x), q (x), f (x) – непрерывные на отрезке [ a, b ] функции.
Решение уравнения (6.45), удовлетворяющее краевым условиям (6.46), будем искать в виде
, | (6.47) |
где u = u (x) – решение соответствующего однородного уравнения
(6.48) |
а n = n (x) – частное решение неоднородного уравнения
(6.49) |
Подставим (6.47) в первое условие граничной задачи (6.46), получим
. | (6.50) |
Для того чтобы равенство (6.50) было справедливо при любом с, необходимо и достаточно, чтобы сомножитель = 0 и выполнялись следующие равенства:
. | (6.51) |
Примем
, | (6.52) |
где константа k отлична от нуля.
Если , то
(6.53) |
если , то
(6.54) |
Видно, что u = u (x) является решением задачи Коши для однородного уравнения (6.48), удовлетворяющим начальным условиям (6.52), а n = n (x) – решение задачи Коши для неоднородного уравнения (6.49), удовлетворяющее начальным условиям (6.53) или (6.54).
|
Теперь подставим (6.47) во второе условие граничной задачи (6.46) и выразим постоянную с
. | (6.55) |
При этом предполагается, что . Если выполнено это условие, то краевая задача (6.45) - (6.46) имеет единственное решение, в противном случае она или совсем не имеет решений, или их бесчисленное множество.
Метод коллокации
Решение краевой задачи (6.45), (6.46) ищем в виде
(6.56) |
где ui (x)(i = 0, 1, 2, …, n) – линейно независимые ортогональные функции.
Обозначим
(6.57) |
Потребуем, чтобы невязка
(6.58) |
обращалась в нуль на некоторой системе точек x1, x2, …, xn отрезка [ a, b ].
Эти точки называются точками коллокации, их число должно равняться числу коэффициентов ci в выражении (6.56).
Для определения ci получаем систему уравнений
(6.59) |
Метод коллокации можно применить и для решения нелинейных уравнений
c линейными краевыми условиями.
При этом невязка имеет вид
Система (6.59) будет системой нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ci.
Пример
Методом коллокации найти приближенное решение уравнения
c краевыми условиями
y (–1) = y (1) = 0.
Выберем в качестве базисных функций u0 (x) = 0, u1 (x) = 1 – x2, u2 (x) = x2 (1– x2).
Краевые условия для них выполняются. Решение будем искать в виде
За точки коллокации возьмем x0 = 0, x1 = ½.
Составляем невязку R (x):
Подставив x0 = 0, x1 = ½,получаем систему
Отсюда находим c1 = 0,957; c2 = – 0,022.
Приближенное решение имеет вид
Тема 7
Метод конечных разностей
(метод сеток) численного решения дифференциальных уравнений
Метод сеток, или метод конечных разностей – один из самых распространенных методов численного решения уравнений с частными производными.
В основе – идея замены производных конечно-разностными отношениями.
Ограничимся случаем двух независимых переменных.
Пусть в плоскости xOy имеется некоторая область G с границей Г (рис. 7.1).
Рис. 7.1. Построение сетки |
Построим два семейства параллельных прямых:
|
Точки пересечения прямых называют узлами.
Два узла называют соседними, если они удалены вдоль оси Ox или Oy на шаг сетки h или k соответственно.
Узлы, принадлежащие G + Г и расположенные вне этой области на расстоянии, меньшем, чем шаг от Г, называют внутренними.
Оставшиеся из выделенных – граничные.
Рассмотрим сначала разности в направлении x.
Разложим функцию u = u (x, y0)в ряд Тейлора в окрестности точки x0, y0:
где x лежит между x и x0.
Если положить x = x0 + h, то можно получить следующее выражение
Т. е. если представить ux с помощью
(7.1) |
то ошибка ограничения будет равна
Равенство (7.1) получено с помощью подстановки x = x0 + h,результат называется правой разностью.
Аналогично можно получить левую разность:
(7.2) |
Приближение для второй производной uxx через правую разность:
(7.3) |
Если в выражение (7.3) подставить правые разности для ux, весь результат окажется «сдвинут» вправо. Для компенсации используем левые разности для ux. Получим
(7.4) |
Можно отметить симметрию полученной формулы относительно x0, y0.
Для определения ошибки ограничения вспомним, что
Положим теперь x = x0 + h; x = x0 – h и сложим два равенства. Получится, что ошибка ограничения равна
Аналогичный анализ проводится для производных в направлении y:
(7.5) |
Здесь k – величина шага по y.
Ошибка ограничения равна
С использованием полученных выражений можно полностью переписать дифференциальное уравнение в частных производных и перейти к уравнению в конечных разностях.
Например, уравнение Лапласа
можно переписать в виде
Тема 8
Решение дифференциальных уравнений в частных производных
8.0 ДУ в частных производных. Постановка задачи
Ограничимся линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с двумя независимыми переменными.
Их можно представить в виде
(8.1) |
Здесь A ¸ G – функции только независимых переменных x и y. Зависимой переменной является u.
В случае обыкновенных дифференциальных уравнений из семейства решений выбиралось нужное с помощью начального условия.
Теперь, поскольку независимых переменных 2, условия должны задаваться вдоль какой-либо кривой в плоскости xОy.
Условие может налагаться на функцию, ее производную, либо совместно.
Будет кривая замкнутой либо разомкнутой зависит от типа уравнения.
|
Обычно уравнения второго порядка подразделяют на три типа (см. (8.1)).
1. Уравнение называют эллиптическим, если B2 – 4AC< 0.
2. Уравнение называют параболическим, если B2 – 4AC = 0.
3. Уравнение называют гиперболическим, если B2 – 4AC> 0.
Уравнение может принадлежать к нескольким типам в зависимости от коэффициентов. Уравнение
yuxx + uyy = 0
эллиптическое при y > 0, параболическое при y = 0 и гиперболическое при y < 0.
8.1 ДУ в частных производных. Эллиптические уравнения
Типичный пример задачи – расчет напряжений при кручении длинного цилиндрического стержня (рис. 8.1).
Обозначим через q угол кручения на единицу длины.
Единственными ненулевыми напряжениями сдвига являются tx и ty (индексы здесь не означают дифференцирование).
Рис. 8.1. К задаче о кручении стержня |
Если определить функцию y через уравнения
то функция y является решением уравнения
(8.2) |
внутри области R, а на границе области С Можно принять y = 0 на кривой С.
Уравнение (8.2) называют уравнением Пуассона.
Рассмотрим классическую задачу Дирихле
(8.3) |
в некоторой области R и на границе этой области (С):
. | (8.4) |
Уравнение (8.3) – это уравнение Лапласа (частный случай уравнения Пуассона).
Для простоты рассмотрим случай, когда кривая С состоит из отрезков прямых, параллельных осям Ox и Oy. Рассмотрим прямоугольник шириной L и высотой H (рис. 8.2).
Рис. 8.2. Построение прямоугольной сетки |
Введем шаги h = L/n и k = H/m. Получим (n – 1)(m – 1) пересечений. Обозначим
Аналогично запишем
При этом граничное условие (8.4) можно записать в виде
(8.5) |
Пусть теперь точка i, j будет точкой x0, y0 в выражениях (7.3) и (7.5).
Если обозначить l = k/h, то уравнение Лапласа (8.3) сведется к разностному уравнению вида
(8.6) |
для i =1, 2, 3, …, n – 1 и j = 1, 2, 3, …, m – 1.
При l = 1 ui,j представляет собой среднее арифметическое из четырех соседних узлов.
Уравнение (8.6) можно представить схематически, начертив пять узлов разностного уравнения и обозначив около каждого из них соответствующий коэффициент.
Этот рисунок называется «трафаретом». «Трафарет» геометрически иллюстрирует разностную аппроксимацию дифференциального уравнения (рис. 8.3).
|
| ||||||||||
Рис. 8.3. «Трафарет» для уравнения эллиптического типа |
Имеем систему (m – 1)(n – 1) уравнений относительно (m + 1)(n + 1) неизвестных.
С помощью граничных условий (8.5) исключаются 2(m + n) неизвестных и их остается ровно
(m – 1)(n – 1).
Было показано, что при h → 0 и k → 0 решение разностного уравнения приближается к решению дифференциального уравнения в случае уравнений эллиптического типа.
В случае параболических и гиперболических уравнений необходимо соблюдение некоторых ограничений.
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!