Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-06-13 | 394 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Найдем формулы вычисления векторного произведения векторов, если векторы заданы координатами:
;
.
По свойствам векторного произведения
=
. (2)
По свойству 1 векторного произведения
, , .
Векторы образуют правую тройку, круговая перестановка векторов (рис. 3) ориентации не меняет, поэтому
, , .
Перестановка соседних векторов меняет ориентацию (рис. 10), поэтому
, , .
Подставим векторные произведения базисных векторов в равенство (2), получим
.
Последнее равенство есть не что иное, как разложение определителя по первой строке
.
Поэтому
(3)
– формула вычисления векторного произведения в координатах.
Найдем формулу вычисления в координатах площади параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 5). По формуле (1)
,
т. е. площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна модулю определителя, первая строка которого – базисные вектора, а вторая и третья – координаты векторов и .
Если векторы лежат на плоскости , т.е. , ,
; ,
то площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна
.
Геометрический смысл определителя второго порядка: его модуль равен площади параллелограмма, построенного на векторах, координаты которых расположены в строках определителя.
Пример 1. Даны точки , , . Найти площадь треугольника АВС.
Рис. 11. |
Решение. Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 11). Найдем векторы
, .
Тогда из геометрического смысла определителя второго порядка площадь параллелограмма
.
Ответ:
3. Смешанное произведение векторов, его свойства. Признак компланарности векторов. Смешанное произведение в координатах.
Определение 2. Смешанным произведением трех векторов , и называется число , равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и , то есть
|
.
Найдем геометрический смысл модуля смешанного произведения. Объем параллелепипеда, построенный на векторах (из рис. 12)
, ,
, .
При этом знак «» необходим, чтобы длина высоты была положительной. Тогда
.
Таким образом, абсолютная величина смешанного произведения трех векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на сторонах.
Найдем формулы для вычисления смешанного произведения векторов, если векторы заданы координатами:
, , .
Тогда
.
Скалярное произведение вектора на векторное произведение
.
– формула вычисления смешанного произведения в координатах.
Учитывая формулу для вычисления смешанного произведения в координатах, получаем геометрический смысл определителя третьего порядка:
, (4)
модуль определителя равен объему параллелепипеда, построенного на векторах, координаты которых расположены в строках определителя.
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!