Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-06-13 | 441 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Для системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными
(1)
формулы Крамера имеют вид
где
, = , = .
Пример 3. Решить по формулам Крамера систему уравнений
Решение. Главный определитель системы равен
.
Вспомогательные определители:
, ,
.
Тогда решение системы равно , , .
Ответ: , ; .
Метод Гаусса.
Метод Гаусса заключается в том, что исходную систему путем исключения неизвестный преобразуют к ступенчатому виду. При этом преобразования выполняются над строками в расширенной матрице, так как преобразования, исключающие неизвестные эквивалентны элементарным преобразованиям строк матрицы.
Метод Гаусса состоит из прямого хода и обратного хода. Прямым ходом метода Гаусса является приведение расширенной матрицы системы (1) к ступенчатому виду путем элементарных преобразований над строками. После чего происходит исследование системы на совместность и определенность. Затем по ступенчатой матрице восстанавливается система уравнений. Решение этой ступенчатой системы уравнений является обратным ходом метода Гаусса, в котором, начиная с последнего уравнения, последовательно вычисляются неизвестные с большим порядковым номером, и их значения подставляются в предыдущее уравнение системы.
Исследование системы в конце прямого хода происходим по теореме Кронекера-Капелли сравнением рангов матрицы системы А и расширенной матрицы А´. При этом возможны следующие случаи.
1) Если , то система несовместна (по теореме Кронекера-Капелли).
2) Если , то система (1) является определенной, и наоборот (без доказательства).
3) Если , то система (1) является неопределенной, и наоборот (без доказательства).
|
Неравенство не имеет места, так как матрица А является частью матрицы А´, неравенство не имеет места, так как число столбцов матрицы А равно п. Кроме того, для системы с квадратной матрицей, то есть если п = т, равенства равносильны тому, что .
Если система является неопределенной, то есть выполняется , то некоторые ее неизвестные объявляются свободными, а остальные через них выражаются. Количество свободных неизвестных равно . При выполнении обратного хода метода Гаусса, если в очередном уравнении после подстановки найденных ранее переменных, неизвестных осталось более одного, то свободными неизвестными объявляются любые неизвестные, кроме одного.
Рассмотрим реализацию метода Гаусса на примерах.
Пример 4. Решить систему уравнений
Решение. Решим систему методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк (прямой ход).
~ ~ ~
~ ~ .
, поэтому система совместна и имеет единственное решение, т.е. является определенной.
Составим систему ступенчатого вида и решим ее (обратный ход).
Проверку легко сделать подстановкой.
Ответ: .
Тема 2. Векторная алгебра.
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!