Расчет качественных показателей оптимальной системы различения двух сигналов со случайной начальной фазой

после усреднения (11) по a, принимая во внимание (4.6.12), получается равной

. (4.8.12)

и называется обобщенным распределением Релея или распределением Релея- Райса.

Рис. 4.18

В частном случае, когда е ₁= е ₂=0(Э =0) и случайные величины х ₁ и х ₂являются независимыми центрированными величинами с одинаковыми дисперсиями s_q ², полярные координаты Z и a оказываются независимыми случайными величинами

p_Za (Z, a) =p_Z (Z) p_a (a),

распределенными: Z - по закону Релея, a - равновероятно

. (4.8.13)

Наоборот, при переходе от полярных координат Z и a, являются независимыми величинами с распределением (13), к декартовым координатам x ₁и x ₂, последние оказываются независимыми гауссовскими центрированными величинами с одинаковыми дисперсиями s_q ²: x ₁, x ₂® N (0, s_q ²), .

Распределение Релея - Райса (12) при различных значениях отношения Э / s_q от 0 до 5 изображено на рис.4.19. При увеличении параметра Э / s_q распределение (12) асимптотически стремится к нормальному N (Э, s_q ²).

В решаемой нами задаче случайная величина (3) совпадает с величиной Z при условии, что е ₂=0, b = 0, e ₁= Э, а величина (4) при условии, что e ₁= е ₂=0, Э =0. При этом ПВ p_sn (Z) и p_n (Z), определяющие вероятности ошибок (1) и (2), выражаются формулами (12) и (13) соответственно. В результате вероятности ошибок Р _ош2 и Р _{о ш1} после замены переменной интегрирования Z / s_q = x получаются равными:

(4.8.14)

(4.8.15)

Интеграл (15) выражается через табулированную функцию *)

. (4.8.16)

Рис. 4.19

В результате, принимая во внимание, что Q (a,0)=1, имеем

(4.8.17)

P _ош.ср = 0.5(P _ош1 + P _ош2 ). (4.8.18)

Приведенными формулами можно пользоваться при m >>1, когда Z _п»0.5 Э, например, при расчете энергии минимально различимого сигнала Э _cmin .

4. 8. 2. Различение сигналов с одинаковыми энергиями. В этом случае